Question

如图a所示，竖直平面内有两根光滑且不计电阻的长平行金属导轨，间距L．导轨间的空间内存在垂直导轨平面的匀强磁场．将一质量m、电阻R的金属杆水平靠在导轨处上下运动，与导轨接触良好．
（1）若磁感应强度随时间变化满足B=kt，k为已知非零常数．金属杆在距离导轨顶部L处释放，则何时释放，会获得向上的加速度．
（2）若磁感应强度随时间变化满足B=

B0

c+dt2

，B₀、c、d均为已知非零常数．为使金属杆中没有感应电流产生，从t=0时刻起，金属杆应在外力作用下做何种运动？列式说明．
（3）若磁感应强度恒定为B₀，静止释放金属杆．对比b图中从铝管顶部静止释放磁性小球在铝管中的下落．试从能量角度用文字分析两图中的共同点．

Answer 1

分析：（1）当安培力大于重力时，加速度向上，根据安培力公式分析答题．
（2）当穿过闭合回路的磁通量不变时，没有感应电流，由磁通量的计算公式解题．
（3）导体棒下滑过程，重力势能转化为动能与电能．

解答：解：（1）由法拉第电磁感应定律得：
E=

△Φ

△t

=

△B

△t

?S=k?L×L=kL²，
安培力：F_A=BIL=BL

E

R

=BL

kL2

R

=kt?L?

kL2

R

=

k2L3t

R

，
设t时刻能获得向上的加速度，
此时安培力：F_A＞mg，即：

k2L3t

R

＞mg，
解得：t＞

mgR

k2L3

；
（2）设t=0时，金属杆距离顶部x，
为了不产生感应电流，任意时刻t时磁通量应与刚开始时相同，设t时间内位移s，
已知：B=

B0

c+dt2

，磁通量保持不变，则

B0

c

Lx=

B0

c+dt2

L(x+s)，
解得：s=

xd

c

t2，由静止开始向下的匀加速直线运动．
（3）在加速阶段，重力势能转为动能和内能（或电能），在匀速运动阶段，重力势能转为内能（或电能）．
答：（1）在t＞

mgR

k2L3

时释放金属棒，加速度向上；
（2）金属棒由静止开始向下做匀加速直线运动．
（3）在加速阶段，重力势能转为动能和内能（或电能），在匀速运动阶段，重力势能转为内能．

点评：这是一道电磁感应与力学相结合的综合题，应用安培力公式、产生感应电流的条件、从能量角度分析即可正确解题．