Question

11．物理学家依据物理规律，可以计算天体的质量和第一宇宙速度．已知：万有引力常量G，地球的半径R，地球表面的重力加速度g．则：
（1）请根据所给的已知数据，计算地球的质量；
（2）请根据所给的已知数据，计算地球的第一宇宙速度；
（3）木星与地球一样也是绕太阳公转的行星之一，而木星的周围也有卫星绕木星公转．如果要通过观测求得木星的质量，需要测量哪些量？试推导用这些量表示的木星质量的计算式．

Answer 1

分析 （1）根据已知量，地球表面的物体受到的重力等于万有引力可求出地球的质量；
（2）近地卫星的万有引力提供向心力，可以求出第一宇宙速度；
（3）根据木星的某个卫星的万有引力等于向心力，列式求解即可求出木星的质量．

解答 解：（1）质量为m的物体在地球表面受到的重力近似等于万有引力
即：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$
（2）地表飞行的卫星向心力由重力提供
即：$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$     
解得$v=\sqrt{gR}$
（3）测量木星的卫星绕木星作圆周运动的轨道半径与周期，
由：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$（轨道半径与线速度，轨道半径与角速度，线速度角速度均可）   
答：（1）地球的质量为$\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$；
（2）地球的第一宇宙速度$\sqrt{gR}$；
（3）木星与地球一样也是绕太阳公转的行星之一，而木星的周围也有卫星绕木星公转．如果要通过观测求得木星的质量，需要测量测量木星的卫星绕木星作圆周运动的轨道半径与周期，木星的质量$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$

点评 解答此题要清楚地球表面的物体受到的重力等于万有引力，地球近地卫星所受的万有引力提供向心力．