Question

【题目】如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，C是最低点，圆心角∠BOC＝37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R＝1.0 m，现有一个质量为m＝0.2 kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，DE距离h＝1.6 m，小物体与斜面AB之间的动摩擦因数μ＝0.5，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2，求：

(1)小物体第一次通过C点时轨道对小物体的支持力FN的大小；

(2)要使小物体不从斜面顶端飞出，斜面的长度LAB至少要多长；

(3)若斜面已经满足(2)要求，小物体从E点开始下落，直至最后沿光滑圆弧轨道做周期性运动，在此过程中系统因摩擦所产生的热量Q的大小．

Answer 1

【答案】(1)12.4 N (2)2.4 m (3)4.8 J

【解析】(1)小物体从E到C，由能量守恒得：

mg(h＋R)＝①

在C点，由牛顿第二定律得：FN－mg＝②

联立①②解得FN＝12.4 N

(2)从E→D→C→B→A过程，由动能定理得

WG－Wf＝0，③

WG＝mg[(h＋Rcos37°)－LABsin37°]④

Wf＝μmgLABcos37°⑤

联立③④⑤解得LAB＝2.4 m

(3)因为mgsin37°>μmgcos37°(或μ<tan37°)，

所以，小物体不会停在斜面上，小物体最后以C为中心，B为一侧最高点沿圆弧轨道做往返运动，

从E点开始直至运动稳定，系统因摩擦所产生的热量，

Q＝ΔEp⑥

ΔEp＝mg(h＋Rcos37°)⑦

联立⑥⑦解得Q＝4.8 J.