Question

如图，质量为 m₁物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m₂的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态．一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩．开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向．现在挂钩上挂一质量m₃ 的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升．已知重力加速度为g．求此过程中：
（1）物体A上升的高度；
（2）弹簧弹性势能的增量；
（3）若将C换成另一个质量为（m₁+m₃）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？

Answer 1

分析：当挂一质量为m₃的物体C时，恰好能使B离开地面但不继续上升，说明此时弹簧对B的拉力的大小恰好和B的重力相等，由此可以求得弹簧弹性势能的增加量，当换成另一个质量为（m₁十m₃）的物体D时，弹簧弹性势能的增加量是相同的，从而能可以求得B刚离地时D的速度的大小．

解答：解：（1）开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为x₁，有
kx₁=m_lg    ①
挂C并释放后，C向下运动，B向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为x₂，有
kx₂=m₂g    ②
则物体A上升的高度h=x₁+x₂=

m1g

k

+

m2g

k

=

(m1+m2)g

k

；
（2）B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到其最低点．由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为
△E=m₃g（x₁+x₂）-m₁g（x₁+x₂）=

(m1+m2)(m3-m1)g2

k

③
（3）C换成D后，当B 刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得

1

2

（m₁+m₃）V²+

1

2

m₁V²=（m₁+m₃）g（x₁+x₂）-m₁g（x₁+x₂）-△E       ④
由③④式得

1

2

（2m₁+m₃）V²=m₁g（x₁+x₂）     ⑤
由①②⑤式得
V=

2m1(m1+m2)g2 (2m1+m3)k

．
答：（1）物体A上升的高度

(m1+m2)g

k

；
（2）弹簧弹性势能的增量

(m1+m2)(m3-m1)g2

k

；
（3）若将C换成另一个质量为（m₁+m₃）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，所以B刚离地时D的速度的大小是V=

2m1(m1+m2)g2 (2m1+m3)k

．

点评：前后两次的过程中，弹簧弹性势能的增加量是相同的，这是联系两个过程的过度量，由此来求解D的速度．