Question

如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点。D点位于水桌面最右端，水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R=0.8m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离为R，P点到桌面右侧边缘的水平距离为2R。用质量m₁=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点。用同种材料、质量为m₂=0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点后其位移与时间的关系为，物块从D点飞离桌面后恰好由P点沿切线落入圆轨道。g=10m/s²，求：
（1）BD间的水平距离；
（2）判断m₂能否沿圆轨道到达M点；
（3）m₂释放后在桌面上运动的过程中克服摩擦力做的功。

Answer 1

解：（1）设物块块由D点以初速做平抛，落到P点时其竖直速度为
，得m/s
或设平抛用时为t，则
在竖直方向上：
在水平方向上：
可得
在桌面上过B点后初速m/s，加速度m/s²
BD间位移为m
（2）若物块能沿轨道到达M点，其速度为，由机械能守恒定律得：

轨道对物块的压力为F_N，则
解得，即物块不能到达M点
（3）设弹簧长为AC时的弹性势能为E_p，物体与桌面间的动摩擦因数为μ
释放m₁时，
释放m₂时，
且
可得J
m₂释放后在桌面上运动过程中克服摩擦力做功为W_f
则由能量转化与守恒定律得：
可得