Question

18．乒乓发球机的简化模型示意图如图所示．发球机的机头相当于一个长l=20cm 的空心圆柱（内径比乒乓球的直径略大），水平固定在球台边缘O点上方H=45cm处，可绕C轴在水平面内转动，从而改变球的落点．球台长为L=3m，位于球台中央的球网高h=25cm，出球口离盛球容器底部的高度H₀=50cm，不考虑乒乓球的旋转、空气阻力和发球机轨道对球的阻力．已知一只乒乓球的质量约3g，（取重力加速度g=10m/s²）

（1）若发球机的机头不转动，且出球点在O点正上方，当发球机发出的球能过网且落在球台上，求发球机出球的速度大小范围；
（2）若发球机机头以ω=5rad/s按俯视图所示方向转动，且出球时乒乓球相对机头的速度为9m/s．求出球点转到O点正上方时所发出球的最后落点位置，结果用xoy坐标系中的坐标值表示；
（3）在题（2）问情景下，若发球机每分钟发出30只球，求发球机因发球而消耗的平均功率．

Answer 1

分析 （1）乒乓球做平抛运动，抓住两个临界状态，即球刚好过网和球刚好不出界，结合高度求出平抛运动的时间，根据水平位移和时间求出最小初速度和最大初速度，从而得出初速度的大小范围．
（2）根据高度求出平抛运动的时间，将小球出来时的速度沿x和y方向分解，结合两个分速度求出两个分位移，从而确定球落点的位置坐标．
（3）根据功能关系得出一个乒乓球获得的机械能，从而得出所做的功，结合平均功率公式求出发球机因发球而消耗的平均功率．

解答 解：（1）根据H-h=$\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$得：
${t}_{1}=\sqrt{\frac{2（H-h）}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×（0.45-0.25）}{10}}s=0.2s$，
则发球机出球的最小速度为：
${v}_{1}=\frac{\frac{L}{2}}{{t}_{1}}=\frac{\frac{3}{2}}{0.2}m/s=7.5m/s$，
根据$H=\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$得：${t}_{2}=\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.45}{10}}s=0.3s$，
则发球机出球的最大速度为：${v}_{2}=\frac{L}{{t}_{2}}=\frac{3}{0.3}m/s=10m/s$．
发球机出球的速度大小范围为：7.5m/s＜v＜10m/s．
（2）机头转动的线速度为：v₃=lω=0.2×5m/s=1m/s，
根据平行四边形定则知，球出后的速度为：$v=\sqrt{{{v}_{3}}^{2}+{{v}_{4}}^{2}}=\sqrt{1+81}m/s=\sqrt{82}$m/s，
球出后做平抛运动，在xoy坐标系中，纵坐标为：y=v₃t₂=1×0.3m=0.3m，横坐标为：x=v₄t₂=9×0.3m=2.7m．
最后落点位置坐标为（0.3m，2.7m）．
（3）每个乒乓球的机械能为：E=$mg{H}_{0}+\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$3×1{0}^{-3}×10×0.5+\frac{1}{2}×3×1{0}^{-3}×82$J=0.138J，
发球机因发球而消耗的平均功率为：P=$\frac{W}{t}=\frac{30E}{t}=\frac{0.138×30}{60}W=0.069W$．
答：（1）发球机出球的速度大小范围为7.5m/s＜v＜10m/s．
（2）最后落点位置坐标为（0.3m，2.7m）．
（3）发球机因发球而消耗的平均功率为0.069W．

点评 本题考查了平抛运动在实际生活中的运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，抓住临界状态，结合运动学公式灵活求解．