Question

（2013?宁波二模）如图所示，用内壁光滑的薄壁细管弯成的“S”形轨道固定于竖直平面内，其弯曲部分是由两个半径均为R的半圆平滑对接而成（圆的半径远大于细管内径），轨道底端D点与粗糙的水平地面相切．现一辆玩具小车m以恒定的功率从E点开始行驶，经过一段时间t之后，出现了故障，发动机自动关闭，小车在水平地面继续运动并进入“S”形轨道，从轨道的最高点A飞出后，恰好垂直撞在固定斜面B上的C点，C点与下半圆的圆心等高．已知小车与地面之间的动摩擦因数为μ，ED之间的距离为x₀，斜面的倾角为30°．求：
（1）小车到达C点时的速度大小为多少？
（2）在A点小车对轨道的压力是多少，方向如何？
（3）小车的恒定功率是多少？

Answer 1

分析：（1）小车离开A后做平抛运动，根据竖直方向的分运动可以求出小车的运动时间与竖直分速度，然后在C点根据运动的合成与分解可以求出小车的速度；
（2）小车在A点做圆周运动，由牛顿第二定律求出求出轨道对小车的支持力，然后由牛顿第三定律求出小车对轨道的压力；
（3）从D到A只有重力做功，机械能守恒，应用机械能守恒定律可以求出D点的速度，从E到D应用动能定理可以求出小车的功率．

解答：解：（1）小车到达A点时的速度为v_A，离开A点后做平抛运动，落到C点时，
竖直方向上：h═3R=

1

2

gt²，
小车到达C点时的竖直分速度：v_y=gt，
在C点tan30°=

vA

vy

，v=

v 2 A + v 2 y

，
解得：v=2

2gR

，v_A=

2gR

；
（2）小车在A点的速度v_A=

2gR

，
在A点，由牛顿第二定律得：mg+F=m

v 2 A

R

，
解得：F=mg，方向竖直向下，
由牛顿第三定律可知，小车对轨道的压力F′=F=mg，竖直向上；
（3）从D到A过程，机械能守恒，由机械能守恒定律得：

1

2

mv_D²=mg?4R+

1

2

mv_A²，
小车从E到D的过程，由动能定理得：
Pt-μmgx₀=

1

2

mv_D²
解得：P=

μmgx0+5mgR

t

；
答：（1）小车到达C点时的速度大小为2

2gR

；
（2）在A点小车对轨道的压力是mg，方向竖直向上；
（3）小车的恒定功率是

μmgx0+5mgR

t

．

点评：小车的运动过程较为复杂，分析清楚小车的运动过程是正确解题的前提与关键；对小车应用运动的合成与分解、牛顿第二定律、机械能守恒定律、动能定理即可正确解题．