Question

16．“嫦娥四号”计划在2017年发射升空，届时“嫦娥四号”将在离月球中心距离为r的轨道上围绕月球做匀速圆周运动，绕月周期为T己知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g，万有引力恒量为G根据以上信息可以确定（　　）

• A． 月球的第一宇宙速度为$\sqrt{gr}$
• B． 月球的平均密度为$\frac{3π}{{G{T^2}}}$
• C． “嫦娥四号”必须减速运动才能返回地球
• D． 月球质量为$\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$

Answer 1

分析 根据万有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$和万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$进行分析．

解答 解：根据万有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
根据万有引力等于重力得：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
解得：v=$\sqrt{gR}$，故A错误；
B、根据万有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．
月球的半径为R，故月球的体积为$V=\frac{4}{3}π{R}^{3}$，根据密度的定义$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，故B错误；
C、嫦娥四号必须加速做离心运动才能返回地球，故C错误；
D、根据万有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得月球的质量为M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．故D正确；
故选：D．

点评 解决本题关键掌握万有引力等于重力和万有引力提供向心力的应用，知道第一宇宙速度的含义．