Question

15．如图所示，长为L的绳子下端连着质量为m的小球，上端悬于天花板上，把绳子拉直时，绳子与竖直线夹角为θ=60°，此时小球静止于光滑的水平桌面上．问：
（1）当球以ω=$\sqrt{\frac{g}{L}}$做圆锥摆运动时，绳子张力T₁为多大？桌面受到压力N₁为多大？
（2）当球以角速度ω=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$做圆锥摆运动时，绳子的张力T₂及桌面受到的压力N₂分别为多少？

Answer 1

分析 （1）当球做圆锥摆运动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，由重力、水平面的支持力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，采用正交分解法列方程求解绳子的张力和支持力，再由牛顿第三定律求出桌面受到的压力．
（2）当小球对桌面恰好无压力时，由重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解此时小球的角速度．根据角速度ω=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$与临界角速度的关系，判断小球是否离开桌面．若小球桌面做圆周运动，再由牛顿第二定律求解绳子的张力．

解答 解：（1）对小球受力分析，作出力图如图1
根据牛顿第二定律，得
   T₁sin60°=mω²Lsin60°①
   mg=N₁+T₁cos60°  ②
又ω=$\sqrt{\frac{g}{L}}$，解得
  T₁=mg，N₁=$\frac{1}{2}mg$；
（2）设小球对桌面恰好无压力时角速度为ω₀，即N₂=0
代入①②得ω₀=$\sqrt{\frac{2g}{L}}$，由于ω=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$＞ω₀，故小球离开桌面做匀速圆周运动，则N=0此时小球的受力如图2．
设绳子与竖直方向的夹角为θ，则有
  mgtanθ=mω²•Lsinθ③
   mg=T₂cosθ        ④
联立③④解得 T₂=4mg
答：（1）当球以ω=$\sqrt{\frac{g}{L}}$做圆锥摆运动时，绳子张力T₁=mg，桌面受到压力N₁=$\frac{1}{2}mg$；
（2）当球以角速度ω=$\sqrt{\frac{4g}{L}}$做圆锥摆运动时，绳子的张力T₂=4mg，桌面受到的压力N₂=0．

点评 本题是圆锥摆问题，分析受力，确定向心力来源是关键，实质是牛顿第二定律的特殊应用．