Question

如图所示，固定的半圆形绝缘光滑轨道置于正交的匀强电场和匀强磁场叠加的区域中．轨道半径为R，磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外，电磁强度为E，方向水平向左．
（1）一个质量为m的小球（可视为质点）放在轨道上的C点恰好处于静止，圆弧半径OC与水平直径AD的夹角为α（sinα=0.8，cosα=0.6）．求小球所电荷量；试说明小球带何种电荷并陈述理由．
（2）如果将小球从A点由静止释放，小球在圆弧轨道上运动时，对轨道的最大压力是多少？
（3）若将小球从A点由静止释放，小球沿圆弧轨道运动到最低点时，与另一个质量也为m且静止在O点正下方P点的不带电小球（可视为质点）发生碰撞，设碰撞过程历时可以忽略且无机械能损失也无电荷转移．两小球在运动过程中始终没有脱离圆弧轨道．求第一次碰撞后到第二次碰撞前，两小球在圆弧轨道上上升的最大高度各是多少？

Answer 1

分析：（1）分析小球在C点的受力情况，由平衡条件确定小球所受的电场力方向，判断其电性，并求出电量．
（2）将小球从A点由静止释放时，电场力和重力的合力先做正功，后做负功，经过C点时速度最大，则动能定理求出最大速度．
（3）根据动量守恒和机械能守恒可以求出碰撞后两球的速度，对于不带电的球，根据机械能守恒可以求出上升的最大高度，对于带电的小球根据动能定理求解上升最大高度．

解答：解：（1）小球在C点受重力、电场力和轨道的支持力处于平衡，电场力的方向一定是向左的，与电场方向相同，如图所示．因此小球带正电荷
F_Ncosα=qE
F_Nsinα=mg
小球带电荷量q=

3mg

4E

（2）小球从A点释放后，沿圆弧轨道下滑，还受方向指向轨道的洛伦兹力F_洛，力F_洛随速度增大而增大，小球通过C点时速度（设为v）最大，力F_洛最大，且qE和mg的合力方向沿半径OA，因此小球对轨道的压力最大．
由mgRsinα-qER(1-cosα)=

1

2

mv2
通过C点的速度v=

gR

小球在重力、电场力、洛伦兹力和轨道对它的支持力作用下沿轨道做圆周运动，有F-mgsinα-qEcosα-Bqv=m

v2

R

最大压力等于支持力F=

(9E+3B gR )mg

4E

（3）小球1从A点滑下到达P点时速度为v_p，由动能定理
mgR-qER=

1

2

m

v

2 P

可得vP=

2gR

2

小球1与小球2发生无机械能损失的碰撞，碰后速度分别设为v₁和v₂，由动量守恒和能量关系
mv_P=mv₁+mv₂

1

2

m

v

2 P

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

解方程可得v₁=0，v2=vP=

2gR

2

碰后小球2仍不带电，向右沿圆轨道上滑，小球2上升的最大高度设为h₂，由机械能守恒定律

1

2

m

v

2 2

=mgh2
可得h2=

1

4

R
碰后小球1质量和电量都不变，从P点开始无初速向左沿圆轨道上滑至最高点F，设∠AOF为β，小球1上升的最大高度为h₁，由动能定理
qERcosβ-mgh₁=0
由几何关系可得h₁=R-Rsinβ
由以上两式可得h1=

18

25

R
故答案为：（1）小球带电荷量q=

3mg

4E

，带正电荷；
（2）如果将小球从A点由静止释放，小球在圆弧轨道上运动时，对轨道的最大压力是

(9E+3B gR )mg

4E

（3）两小球在圆弧轨道上上升的最大高度分别是h1=

18

25

R和h2=

1

4

R．

点评：本题是物体的平衡、动能定理和牛顿运动定律综合应用，要学会分析物体的运动过程，并能把握每个过程所遵循的物理规律．