Question

如图所示，在光滑的水平长直轨道上，有一质量为M=3kg、长度为L=2m的平板车以速度v₀=4m/s匀速运动．某时刻将质量为m=1kg的小滑块轻放在平板车的中点，小滑块与车面间的动摩擦因数为μ=0.2，取g=10m/s²．
（1）若小滑块最终停在平板车上，小滑块和平板车摩擦产生的内能为多少？
（2）若施加一个外力作用在平板车上使其始终保持速度为v₀=4m/s的匀速运动，当小滑块放到平板车中点的同时，对该小滑块施加另一个与平板车运动方向相同的恒力F，要保证滑块不能从平板车的左端掉下，恒力F大小应该满足什么条件？
（3）在（2）的情况下，力F取最小值，要保证滑块不从平板车上掉下，力F的作用时间应该在什么范围内？

Answer 1

（1）由动量守恒定律得：
Mv₀=（M+m）v
   解得v=

Mv0

m+M

由能量守恒得：Q=

1

2

M

v

20

-

1

2

（M+m）v²=6J
（2）设恒力F取最小值为F₁，滑块加速度为a₁，此时滑块恰好到达车的左端，则
滑块运动到车左端的时间  t₁=

v0

a1

①
由几何关系有  v₀t₁-

v0t1

2

=

L

2

②
由牛顿定律有 F₁+μmg=ma₁③
由①②③式代入数据解得  t₁=0.5s，F₁=6N
则恒力F大小应该满足条件是  F≥6N
（3）力F取最小值，当滑块运动到车左端后，为使滑块恰不从右端滑出，相对车先做匀加速运动（设运动加速度为a₂，时间为t₂），
再做匀减速运动（设运动加速度大小为a₃）．到达车右端时，与车达共同速度．则有
F₁-μmg=ma₂④
μmg=ma₃⑤

1

2

a₂

t

22

+

a 22 t 22

2a3

=L⑥
由④⑤⑥式代入数据解得t₂=

3

3

s=0.58s
则力F的作用时间t应满足  t₁≤t≤t₁+t₂，
即0.5s≤t≤1.08s
答：（1）若小滑块最终停在平板车上，小滑块和平板车摩擦产生的内能为6J
（2）恒力F大小应该满足 F≥6N
（3）在（2）的情况下，力F取最小值，要保证滑块不从平板车上掉下，力F的作用时间应该在0.5s≤t≤1.08s．