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    8．如图所示，倾角为θ的斜面底端固定挡板P，质量为m的小物块A与质量不计的木板B叠放在斜面上，A位于B的最上端且与P相距L．已知A与B、B与斜面间的动摩擦因数分别为μ1、μ2，且μ1＞tanθ＞μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A与挡板相撞没有机械能损失．将A、B同时由静止释放，求：
    （1）A、B释放时，物块A的加速度大小；
    （2）若A与挡板不相碰，木板的最小长度l0；
    （3）若木板长度为l，整个过程中木板运动的总路程．

    分析 （1）A、B释放时，它们一起加速下滑．以木板与物块A为研究对象，由牛顿第二定律求物块A的加速度大小；
    （2）在木板B与挡板未碰前，A和B相对静止，以相同的加速度一起向下做匀加速运动．木板B与挡板相碰后立即静止，A开始匀减速下滑．若物块A到达挡板时的速度恰好为0，A与挡板恰好不相碰，由牛顿第二定律和运动学公式结合求两者相对位移，即为木板的最小长度l0；
    （3）分两种情况：
    ①若l≥l0，木板与挡板相撞后不反弹，物块A一直减速直到静止在木板上．
    ②若l＜l0，木板与挡板相撞后，物块A在木板上减速运动直至与挡板相撞．由于碰撞过程中没有机械能损失，A将以撞前速率返回，并带动木板一起随物块向上减速；当它们的速度减为零后，再重复上述过程，直至物块A停在挡板处．根据能量守恒定律求整个过程中木板运动的总路程．

    解答 解：（1）释放木板与物块A，它们一起加速下滑．以木板与物块A为研究对象，设其加速度大小为a1，由牛顿第二定律有：
       mgsinθ-μ2mgcosθ=ma1；
    解得 a1=gsinθ-μ2gcosθ
    （2）在木板B与挡板未碰前，A和B相对静止，以相同的加速度一起向下做匀加速运动．木板B与挡板相碰后立即静止，A开始匀减速下滑．若物块A到达挡板时的速度恰好为0，此时木板长度即为最小长度l0．设木板与挡板相撞瞬间速度为v，则有
       v2=2（L-l0）
    木板静止后，物块减速下滑时的加速度大小为a2，由牛顿第二定律有
       μ1mgcosθ-mgsinθ=ma2；
    解得  a2=μ1gcosθ-gsinθ
    由运动学公式得 0-v2=-2a2l0；
    联立以上各式可解得 l0=$\frac{sinθ-{μ}_{2}cosθ}{（{μ}_{1}-{μ}_{2}）cosθ}$L
    （3）分两种情况：
    ①若l≥l0，木板与挡板相撞后不反弹，物块A一直减速直到静止在木板上．
    故木板通过的路程 s=L-l
    ②若l＜l0，木板与挡板相撞后，物块A在木板上减速运动直至与挡板相撞．由于碰撞过程中没有机械能损失，A将以撞前速率返回，并带动木板一起随物块向上减速；当它们的速度减为零后，再重复上述过程，直至物块A停在挡板处．
    物块与木板间由于摩擦产生的热量 Q1=μ1mgcosθ•l
    木板与斜面间由于摩擦产生的热量  Q2=μ2mgcosθ•s
    根据能量守恒得 mgLsinθ=Q1+Q2；
    解得 s=$\frac{Lsinθ-{μ}_{1}lcosθ}{{μ}_{2}cosθ}$
    答：
    （1）A、B释放时，物块A的加速度大小是gsinθ-μ2gcosθ；
    （2）若A与挡板不相碰，木板的最小长度l0是$\frac{sinθ-{μ}_{2}cosθ}{（{μ}_{1}-{μ}_{2}）cosθ}$L；
    （3）若木板长度为l，整个过程中木板运动的总路程是L-l或$\frac{Lsinθ-{μ}_{1}lcosθ}{{μ}_{2}cosθ}$．

    点评 在应用牛顿运动定律和运动学公式解决问题时，要注意运动过程的分析，此类问题，还要对整个运动进行分段处理．对于板长，往往根据能量守恒求解．

    练习册系列答案
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