Question

17．课外活动小组的同学用图甲所示的实验装置研究小球对轨道的压力与下滑高度的关系．处在竖直平面内的光滑斜面轨道AB与光滑圆弧轨道BCD相切于B点，小球从轨道AB上高H处的某点由静止释放，用与计算机连接的压力传感器测出小球经过圆弧最低点C时对轨道的压力大小F_C，不断改变小球的下滑高度H，测出相应的F_C，在计算机上作出F_C随高度H的变化关系图象，如图乙中图线Ⅰ所示．g=10m/s²．

（1）根据图线Ⅰ，在图乙中作出小球过轨道最高点D时对轨道的压力大小F_D随高度H的变化关系图线，并求出小球质量m和圆弧轨道的半径R；
（2）现在D点也安装一个压力传感器，并使轨道CD部分比原来稍粗糙，结果在计算机上得到的F_D随高度H的变化关系如图乙中的图线Ⅱ所示．根据图线Ⅰ、Ⅱ，求出小球分别从H₁=0.6m、H₂=1.2m高度下滑时通过CD段克服摩擦力做的功，并由此分析小球在CD段克服摩擦力做的功W_f与下滑高度H的定性关系．

Answer 1

分析 （1）小球从A到C运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律和牛顿定律求出小球对轨道C点的压力F_C与H的关系式，然后结合F-H图线求出小球质量m和圆弧轨道的半径R．
（2）使轨道CD部分比原来稍粗糙，根据动能定理和牛顿第二定律结合求克服摩擦力做功，再得出W_f与下滑高度H的定性关系．

解答 解：（1）对小球从A运动到C的过程，由动能定理得：
   mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
在C点，根据牛顿第二定律得
    F_C-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
联立解得 F_C=$\frac{2mg}{R}$H+mg．
由图乙可知，H=0时，F_C=1N，代入上式解得 m=0.1kg
当H=1.2m时，F_C=13N，代入上式解得 R=0.2m
对小球从A运动到D的过程，由动能定理得：
  mg（H-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
在D点，根据牛顿第二定律得
  F_D+mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
联立解得 F_D=$\frac{2mg}{R}$H-5mg=$\frac{2×0.1×10}{0.2}$H-5=10H-5（N）
作出F_D-H图线如图Ⅲ所示．
（2）由图乙知，当H₁=0.6m时，F_C=7N，F_D=0
在C点，根据牛顿第二定律得
   F_C-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
在D点，根据牛顿第二定律得
F_D+mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
根据功能关系可知，小球通过CD段克服摩擦力做的功 W_f1=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-（$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$+2mgR）
联立解得 W_f1=0.1J
由图乙知，当H₂=1.2m时，F_C=13N，F_D=5N，运用同样的方法可得 W_f2=0.2J
可知，小球下滑高度越高，克服摩擦力做的功越多
答：
（1）如图Ⅲ所示．小球质量m和圆弧轨道的半径R分别为0.1 kg和0.2 m．
 （2）小球分别从H₁=0.6m、H₂=1.2m高度下滑时通过CD段克服摩擦力做的功分别为0.1J和0.2 J，小球下滑高度越高，克服摩擦力做的功越多．

点评 本题通过动能定理和牛顿第二定律求出F与H的表达式是解决本题的关键，列出解析式，再作图象是常用的方法，要学会应用．