Question

12．如图所示，一质量为m的小球从半径为R的四分之一圆弧轨道上与圆心等高处A静止释放，滑到轨道最低点B时对轨道的压力为2mg，此后水平飞出且恰好垂直击中倾角为θ=30°的斜面，空气阻力不计．下列关于小球运动的说法中，正确的是（　　）

• A． 小球运动到B点的速度为$\sqrt{gR}$
• B． 小球在圆弧轨道上运动时只有重力做功，且重力的功率一直增大
• C． 小球在圆弧轨道上运动时克服阻力做的功为$\frac{mgR}{4}$
• D． 小球从圆弧轨道飞到击中斜面的时间为$\sqrt{\frac{3R}{g}}$

Answer 1

分析 根据牛顿第二定理求出B点的速度，根据在圆弧轨道上初始时刻和B点的重力功率均为零，判断重力功率的变化．根据动能定理求出在圆弧轨道克服摩擦力做功的大小．抓住小球垂直撞在斜面上，结合平行四边形定则求出竖直分速度，根据速度时间公式求出运动的时间．

解答 解：A、根据牛顿第二定律得，N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得B点的速度v=$\sqrt{gR}$，故A正确．
B、小球在圆弧轨道上运动时，只有重力做功，初始时刻重力的功率为零，到达B点时由于重力的方向与速度方向垂直，重力的功率也为零，则A到B的过程中重力的功率先增大后减小，故B错误．
C、根据动能定理得，mgR-W_f=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得${W}_{f}=\frac{1}{2}mgR$，故C错误．
D、小球水平飞出且恰好垂直击中倾角为θ=30°的斜面，根据平行四边形定则知，$tan30°=\frac{v}{{v}_{y}}$，解得${v}_{y}=\frac{v}{tan30°}=\sqrt{3}v=\sqrt{3gR}$，则运动的时间t=$\frac{{v}_{y}}{g}=\frac{\sqrt{3gR}}{g}=\sqrt{\frac{3R}{g}}$，故D正确．
故选：AD．

点评 本题考查了平抛运动和圆周运动的综合运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．