Question

如图所示，水平放置的两平行金属板间存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度为B₁，方向与纸面垂直，电场的场强E=2.0×10⁵V/m，方向竖直向下，PQ为板间中线．紧靠平行板右侧边缘建立平面直角坐标系xOy，在第一象限内，存在着以AO为理想边界的两个匀强磁场区域，方向如图所示，磁感应强度B₂=B₃=0.6T，AO和y轴间的夹角θ=30°．一束带负电的粒子，质量不同，带电量q=2.5×10^-8C，以v=5×10⁵m/s的水平速度从P点射入板间，沿PQ做直线运动，穿出平行板区域后从y轴上坐标为（0，0.3m）的Q点垂直于y轴射入磁场区域．（粒子的重力不计）
（1）求磁感应强度B₁的大小和方向；
（2）若粒子不能穿过AO边界，试确定其质量m应满足的条件；
（3）若m=9.0×10^-15kg，试画出粒子从Q点进入磁场区域开始，至第3次经过AO边界时的轨迹图；
（4）由（3）所给条件，求粒子从Q点进入磁场区域开始至第n次通过AO边界时的位置到原点O的距离和该过程经历的时间．（结果可保留π）

Answer 1

分析：（1）粒子做匀速直线运动，则受力平衡，由共点力的平衡可得出磁感应强度的大小；
（2）若不能穿出，则临界值为恰好与AO相切，则由几何关系可求出粒子转动的最大半径；则可求得带电粒子质量的范围；
（3）由洛仑兹力充当向心力，利用牛顿第二定律可求得粒子的半径；由几何关系可得了可能的轨迹图；
（4）由几何关系可得出粒子第n次穿过AO边界时的长度，从而得出粒子第n次穿过的时间．

解答：解：（1）带电粒子在板间做直线运动，有qvB₁=qE
解得B₁=

E

v

=0.4T
方向垂直于纸面向里
（2）如图所示，当粒子恰好与AO边界相切时，设其轨道半径为R，
粒子质量为m₀，则由几何关系可得：R+

R

sinθ

=

.

OQ

；R=

. OQ

3

=0.1m
由牛顿第二定律得：qvB₂=m₀

v2

R

解得：m₀=

qB2R

v

=3×10^-15kg
所以m≤3×10^-15kg（或m＜3×10^-15kg）
（3）设质量m=9.0×10^-15kg的粒子做匀速圆周运动的半径为r，有：qvB₂=m

v2

r

解得r=

mv

qB2

=0.3m；
即坐标原点O为轨迹圆的圆心，粒子第一次通过AO的速度方向与AO垂直，故粒子运动的轨迹如图所示
（4）设粒子第n次通过AO边界的点为A_n，则

.

AnO

=（2n-1）r=（0.6n-0.3）m  （n=1，2，3…） 
带电粒子在磁场中运动的周期为T=

2πm

qB2

根据运动圆轨迹的圆心角，可得粒子第n次通过AO边界的时间为t=

T

12

+（n-1）

1

2

T
t=（6n-5）π×10^-7s  （n=1，2，3…）
答：（1）B₁为0.4T，方向向里；
（2）若粒子不能穿过AO边界，其质量m应满足的条件m≤3×10^-15kg（或m＜3×10^-15kg）；
（3）轨迹如上图；
（4）粒子从Q点进入磁场区域开始至第n次通过AO边界时的位置到原点O的距离为（0.6n-0.3）m （n=1，2，3…）
该过程经历的时间（6n-5）π×10^-7s （n=1，2，3…）

点评：本题由于要求出最后的通式，故应注意分析其运动过程，从而找出合理的表达式；应充分利用好几何关系．