Question

14．如图所示，质量M=0.03kg的绝缘薄板静止于倾角θ=37°的斜面底端，挡板PN垂直于PQ，斜面与薄板间的动摩擦因数μ₀=0.8，质量m=0.01kg，带电荷量q=+2.5×10^-3C可视为质点的小物块放在薄板的最上端，薄板和物块间的动摩擦因数μ=0.5，所在空间加有方向垂直于斜面向下的匀强电场E，现对薄板施加一平行于斜面向上的拉力F=0.726N．当小物块即将离开薄板时，立即将电场E方向改为竖直向上，同时在空间增加一个垂直纸面向外的足够大的匀强磁场B=6.0T，并撤去外力F，此后小物块刚好做半径R=1m的匀速圆周运动．设最大静摩擦力与滑动摩擦力相同，不考虑因空间电、磁场的改变而带来的其它影响，斜面PQ和挡板PN均足够长，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）小物块刚离开薄板时的速度大小；
（2）薄板长度；
（3）小物块第一次击中挡板PN时，薄板下端距P点的距离．

Answer 1

分析 这是一个关于力学动力学问题与电磁学内容的综合，同时又涉及到连接体，要用隔离法分别对物体进行受力分析，用相应的规律解决具体问题．
（1）由于知道物块做匀速圆周运动的半径，所以记得半径公式$r=\frac{mv}{qB}$  （洛仑兹力提供向心力推出），很容易求出物块离开薄板的速度．
（2）在拉力作用下，物块和薄板均做匀加速直线运动，只是薄板的加速度大于物块，所以薄板的位移大，当物块离开时，两者位移差就是薄板的长．
（3）物块离开薄板，撤去拉力后，薄板向上做匀减速直线运动，可以求出向上运动到最高点的时间和位移，由于速度减为零后，Mgsinθ＜μ₀Mgcosθ，所以停在最高点，则物块击中PN时薄板下端离P点的距离就是薄板匀加速直线运动和匀减速直线运动位移的和．

解答 解（1）电场方向改为竖直向上时，小物块在磁场中做匀速圆周运动，由此可知，电场力和重力平衡：
     qE=mg 
  解得：$E=\frac{mg}{q}=\frac{0.01×10}{2.5×1{0}^{-3}}V/m=40V/m$
  做匀速圆周运动时有：$qvB=\frac{mv2}{R}$
  所以$v=\frac{qBR}{m}=\frac{2.5×1{0}^{-3}×6×1}{0.01}m/s$=1.5m/s
（2）电场方向未改之前对小物块由牛顿第二定律有：μ（mgcosθ+Eq）-mgsinθ=ma₁
  代入数据得：a₁=3m/s
  物块从开始到离开薄板的时间：$t=\frac{v}{{a}_{1}}=\frac{1.5}{3}s=0.5s$
  对薄板由牛顿第二定律有：F-μ（mgcosθ+Eq）-μ₀（mgcosθ+Eq+Mgcosθ）=Ma₂
  代入数据得：${a}_{2}=4m/{s}^{2}$
  当物块滑离薄板时有：$L=\frac{1}{2}（{a}_{2}-{a}_{1}）{t}^{2}$=$\frac{1}{2}（4-3）×0．{5}^{2}m$=0.125m
（3）物块在时间t=0.5s内的位移：${s}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}=\frac{1}{2}×3×0．{5}^{2}m=0.375m$
  物块的运动轨迹如图所示，由几何关系知：$α=arcsin\frac{{s}_{1}}{R}=arcsin\frac{0.375}{1}=22°$
  物块做匀速圆周运动的时间：${t}_{1}=\frac{180°+α}{360°}×\frac{2×π×R}{v}=\frac{180°+22°}{360°}×\frac{2×3.14×1}{1.5}s$=2.35s  
  又因为在t=0.5s内薄板薄板的位移，即薄板下端离PN的距离：s₂=L+s₁=0.5m
  薄板此时的速度：v₂=a₂t=4×0.5m/s=2m/s
  撤去外力后薄板向上做匀减速直线运动，加速度：${a}_{2}′=\frac{Mgsinθ+{μ}_{0}Mgcosθ}{M}=12.4m/{s}^{2}$  
  薄板由于惯性继续向上运动到速度为零的时间：${t}_{2}=\frac{{v}_{2}}{{a}_{2}′}=\frac{2}{12.4}s=0.16s$
  位移：${s}_{2}′=\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2{a}_{2}′}=\frac{{2}^{2}}{2×12.4}m=0.16m$    
  因为有Mgsinθ＜μ₀Mgcosθ，所以薄板到最高点后停在该处．
  由于t₂＜t₁，所以物块击中PN时薄板已经停在最高点处了，则击中薄板时薄板下端离P点的距离为：s=s₂+s₂′=0.5m+0.16m=0.66m
答：（1）小物块刚离开薄板时的速度大小为1.5m/s．
（2）薄板长度为0.125m．
（3）小物块第一次击中挡板PN时，薄板下端距P点的距离为0.66m．

点评 本题的靓点在于第三问，薄板的运动是先在拉力作用下做匀加速直线运动后由于惯性做匀减速直线运动，速度为零时停在最高点，而物块在薄板做匀减速直线运动时做匀速圆周运动击中PN，所以先要比较两者的时间，由计算知道是薄板先停物块后击中，这样击中PN时薄板下端离P点的距离就是薄板两种运动的位移之和．