Question

（18分）如图所示，两根正对的平行金属直轨道MN、M´N´位于同一水平面上，两轨道之间的距离l=0.50m。轨道的MM´端之间接一阻值R=0.40Ω的定值电阻，NN´端与两条位于竖直面内的半圆形光滑金属轨道NP、N´P´平滑连接，两半圆轨道的半径均为R₀=0.50m。直轨道的右端处于竖直向下、磁感应强度B=0.64 T的匀强磁场中，磁场区域的宽度d=0.80m，且其右边界与NN´重合。现有一质量m=0.20kg、电阻r=0.10Ω的导体杆ab静止在距磁场的左边界s=2.0m处。在与杆垂直的水平恒力F=2.0N的作用下ab杆开始运动，当运动至磁场的左边界时撤去F，结果导体杆ab恰好能以最小速度通过半圆形轨道的最高点PP´。已知导体杆ab在运动过程中与轨道接触良好，且始终与轨道垂直，导体杆ab与直轨道之间的动摩擦因数μ=0.10，轨道的电阻可忽略不计，取g=10m/s²，求：

（1）导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小和方向；

（2）导体杆穿过磁场的过程中通过电阻R上的电荷量；

（3）导体杆穿过磁场的过程中整个电路中产生的焦耳热。

Answer 1

解析：

（1）设导体杆在F的作用下运动至磁场的左边界时的速度为v₁，根据动能定理则有

（F-μmg）s=mv₁²                               （2分）

导体杆刚进入磁场时产生的感应电动势E=Blv₁                （1分）

此时通过导体杆上的电流大小I=E/（R+r）=3.8A（或3.84A）  （2分）

根据右手定则可知，电流方向为由b向a                   （2分）

（2）设导体杆在磁场中运动的时间为t，产生的感应电动势的平均值为E_平均，则由法拉第电磁感应定律有  

E_平均=△φ/t=Bld/t                                （2分）

通过电阻R的感应电流的平均值 I_平均=E_平均/（R+r）    （1分）

通过电阻R的电荷量 q=I_平均t=0.512C（或0.51C）  （2分）

（3）设导体杆离开磁场时的速度大小为v₂，运动到圆轨道最高点的速度为v₃，因导体杆恰好能通过半圆形轨道的最高点，根据牛顿第二定律对导体杆在轨道最高点时有

mg=mv₃²/R₀                                   （1分）

对于导体杆从NN′运动至PP′的过程，根据机械能守恒定律有

mv₂²=mv₃²+mg2R₀                    （1分）

解得v₂=5.0m/s                               （1分）

导体杆穿过磁场的过程中损失的机械能△E=mv₁²_-mv₂²=1.1J     （2分）

此过程中电路中产生的焦耳热为

Q=△E-μmgd=0.94J                                   （1分）