Question

如图所示，固定在水平桌面上的光滑金属框架cdef处于竖直向下磁感应强度为B₀的匀强磁场中．金属杆ab与金属框架接触良好．此时abed构成一个边长为l的正方形，金属杆的电阻为r，其余部分电阻不计．
（1）若从t=0时刻起，磁场的磁感应强度均匀增加，每秒钟增量为k，施加一水平拉力保持金属杆静止不动，求金属杆中的感应电流．
（2）在情况（1）中金属杆始终保持不动，当t=t₁秒末时，求水平拉力的大小．
（3）若从t=0时刻起，磁感应强度逐渐减小，当金属杆在框架上以恒定速度v向右做匀速运动时，可使回路中不产生感应电流．写出磁感应强度B与时间t的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）由题知：磁感应强度B的变化率

△B

△t

=kT/s，根据法拉第电磁感应定律求得回路中产生的感应电动势大小，再由闭合电路欧姆定律求出感应电流的大小．
（2）磁感应强度B的表达式为B=B₀+kt，由安培力公式F=BIL求出安培力，则由平衡条件得知，水平拉力与安培力大小相等．即可求得水平拉力的大小．
（3）要使回路中感应电流为0，磁感应强度逐渐减小产生的感生电动势E和金属杆运动产生的动生电动势E′大小，方向相反．即可求得B与t的关系式．

解答：解（1）设瞬时磁感应强度为B，由题意得率

△B

△t

=

B-B0

△t

=k  ①
产生感应电动势为 E=

△φ

△t

=

△BS

△t

=

(B-B0)S

△t

=kl2  ②
根据闭合电路欧姆定律得，产生的感应电流I=

E

r

=

kl2

r

  ③
（2）由题意，金属杆始终保持不动，根据二力平衡，安培力等于水平拉力，即有F=F_安 ④
   F_安=BIl  ⑤
由①③⑤得F按=

(B0+kt1)kl3

r

所以F=

(B0+kt1)kl3

r

（3）回路中感应电流为0，磁感应强度逐渐减小产生的感生电动势E和金属杆运动产生的动生电动势E′大小，方向相反，即E+E′=0，
则有

(B-B0)l2

t-0

+Blv=0
　解得　B=

B0l

l+vt

答：
（1）金属杆中的感应电流为为

kl2

r

．
（2）水平拉力的大小为

(B0+kt1)kl3

r

．
（3）要使回路中不产生感应电流，磁感应强度B与时间t的函数关系式为B=

B0l

l+vt

．

点评：本题根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律求出感应电流，推导出安培力的表达式，都常用的方法和思路．对于第3题，也可以产生感应电流的条件分析：回路中没有感应电流产生，说明穿过回路的磁通量不变，则有
  B₀l²=Bl（l+vt），得到B=

B0l

l+vt

．