Question

17．如图所示为一传送带的模型，传送带水平部分AB长度L在0.5m≤L≤2.0m的范围内取值，AB距水平地面的高度h=0.45m，皮带轮顺时针匀速转动使传送带总保持v=2.0m/s的速度匀速运动．现将一工件（可视为质点）从静止轻放在A端，一段时间后工件运动到B端并从B端水平抛出，已知工件与皮带之间的动摩擦因数μ=0.20，g取10m/s²．
（1）求工件做加速运动过程的加速度大小；
（2）当传送带的长度为L=0.5m时，为了使工件恰能从B端水平抛出，B端所在的主动轮半径r应为多大？
（3）试讨论工件的落地点与B点的水平距离x与AB长度L的关系．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出工件加速过程中的加速度大小．
（2）由题意得，L=0.5m时，工件仍能水平抛出，根据速度时间公式求出物体滑动B端的速度，当物体离开B端做平抛运动，知支持力为零，靠重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出最大半径，从而求出主动轮半径r应满足的条件．
（3）物体可能先做匀加速直线运动再做匀速直线运动，也可能一直做匀加速直线运动．根据工件的运动规律，结合平抛运动的知识求出落地点与B点的水平距离x与AB长度L的关系．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律，f=μmg=ma
解得a=μg=2.0m/s²
（2）设传送带的长度为L₀工件运动至B时恰能与传送带共速．
由运动学公式，得${L_0}=\frac{v^2}{2a}$
说明工件在传送带上一直做匀加速直线运动．  
设工件在B处的速度为v_B，则$v_B^2=2aL$
工件恰从B水平抛出，由牛顿第二定律得：$mg=\frac{mv_B^2}{r}$
解得：r=0.2m                                    
（3）工件落地点时间$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=0.3s$
当0.5m≤L＜1.0m时，工件一直做匀加速运动．
由运动学公式，得$v_B^2=2aL$
工件的水平位移$x={v_B}t=\frac{{3\sqrt{L}}}{5}$
当1.0m≤L≤2.0m时，工件与传送带达到共速，则
工件在B处的速度v_B=v=2m/s
工件的水平位移$x={v_B}t=\frac{3}{5}m$
综上所述：
当0.5m≤L＜1.0m时，$x=\frac{{3\sqrt{L}}}{5}$；
当1.0m≤L≤2.0m时，x=0.6m．
答：（1）工件做加速运动过程的加速度大小为2.0m/s²．
（2）工件从B端水平抛出，B端所在的主动轮半径r应满足r≤0.2m．
（3）0.5m＜L＜1.0m时，x=0.6$\sqrt{L}$；1.0m≤L＜2.0m时，x=0.6m

点评 解决本题的关键理清工件的运动情况，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．