Question

1．如图（甲）所示，两平行金属板间接有如图（乙）所示的随时间t变化的电压U，两板间电场可看作是均匀的，且两板外无电场，极板长L=0.2m，板间距离d=0.2m，在金属板右侧有一边界为MN的区域足够大的匀强磁场，MN与两板中线OO′垂直，磁感应强度B=5×10^-3T，方向垂直纸面向里，现有带正电的粒子流沿两板中线OO′连续射入电场中，已知每个粒子的速度v₀=10⁵m/s，比荷$\frac{q}{m}$=10⁸C/kg，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视作是恒定不变的．

（1）试求两板间加上多大电压时才能使带电粒子刚好从极板边缘射出电场；
（2）试求带电粒子离开电场时获得的最大速度；
（3）证明任意时刻从电场射出的带电粒子，进入磁场时在MN上的入射点和出磁场时在MN上的出射点间的距离为定值：

Answer 1

分析 （1）当两板间所能加的电压最大时，粒子射出电场的速度最大．根据运动的分解和动能定理结合求出最大速度．
（2）带电粒子从极板的边缘射出电场时速度最大，根据带电粒子在磁场中做类平抛运动，根据沿电场方向上的匀加速直线运动，求出偏转的电压，根据动能定律求出射出电场的最大速度．
（3）画出轨迹，由几何知识找出该距离与轨迹半径的关系来证明．

解答 解：（1）设两板间电压为U₁时，粒子在电场中做类平抛运动，带电粒子刚好从极板边缘射出电场，则有
  $\frac{d}{2}$=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{{U}_{1}q}{md}（\frac{L}{{v}_{0}}）^{2}$
代入数据，解得：U₁=100V；
（2）粒子刚好从极板边缘射出电场时，速度最大，设最大速度为v₁．
则有：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+q$•\frac{{U}_{1}}{2}$
解得：v₁=$\sqrt{2}$×10⁵m/s=1.414×10⁵m/s；
（3）设粒子进入磁场时速度方向与OO′夹角为θ，
则速度大小 v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$
粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径 R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{m{v}_{0}}{qBcosθ}$
粒子从磁场中飞出的位置与进入磁场的位置之间的距离s=2Rcosθ=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$
代入数据解得：s=0.4m，
s与θ无关，即射出电场的任何一个带电粒子进入磁场的入射点与出射点间距离恒为定值．
答：
（1）两板间加上100V的电压时才能使带电粒子刚好从极板边缘射出电场；
（2）带电粒子离开电场时获得的最大速度是1.414×10⁵m/s；
（3）证明见上．

点评 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动解题一般程序是：
  1、画轨迹：确定圆心，几何方法求半径并画出轨迹．
  2、找联系：轨迹半径与磁感应强度、速度联系；偏转角度与运动时间相联系，时间与周期联系．
  3、用规律：牛顿第二定律和圆周运动的规律．