Question

如图所示，地面和半圆轨道面PTQ均光滑．质量M=1kg、长L=4m的小车放在地面上，右端与墙壁的距离为S=3m，小车上表面与半圆轨道最低点P的切线相平．现有一质量m=2kg的滑块（不计大小）以vo=6m/s的初速度滑上小车左端，带动小车向右运动．小车与墙壁碰撞时即被粘在墙壁上，已知滑块与小车表面的滑动摩擦因数μ=0.2，g取10m/S²．求：


（1）滑块在小车上运动的过程中，滑块和小车的加速度大小分别为多少？
（2）判断小车与墙壁碰撞前是否已与滑块相对静止，并求小车与墙壁碰撞时滑块的速度．
（3）若滑块在圆轨道滑动的过程中不脱离轨道，求半圆轨道半径R的取值范围．

Answer 1

（1）由牛顿第二定律得：
对木块有：-μmg=ma₁解得：a1=-2m/s2
对小车有：μmg=Ma₂解得：a1=4m/s2
（2）设滑块与小车的共同速度为v₁，滑块与小车相对运动过程中动量守恒，有
  mv₀=（m+M）v₁ 
代入数据解得
  v₁=4m/s 
设滑块与小车的相对位移为 L₁，由系统能量守恒定律，有
  μmgL₁=

1

2

mv02-

1

2

(m+M)v12
代入数据解得   L₁=3m 
设与滑块相对静止时小车的位移为S₁，根据动能定理，有
  μmgS₁=

1

2

Mv12-0
代入数据解得S₁=2m 
因L₁＜L，S₁＜S，说明小车与墙壁碰撞前滑块与小车已具有共同速度，且共速时小车与墙壁还未发生碰撞，故小车与碰壁碰撞时的速度即v₁=4m/s．
（2）滑块将在小车上继续向右做初速度为v₁=4m/s，位移为L₂=L-L₁=1m的匀减速运动，然后滑上圆轨道的最低点P．
若滑块恰能滑过圆的最高点，设滑至最高点的速度为v，临界条件为
  mg=m

v2

R

根据动能定理，有
-μmgL₂-mg?2R=

1

2

mv2-

1

2

mv12
联立并代入数据解得R=0.24m 
若滑块恰好滑至

1

4

圆弧到达T点时就停止，则滑块也能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道．
根据动能定理，有
-μmgL₂-mg?R=0-

1

2

mv12
代入数据解得R=0.6m 
综上所述，滑块能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道，半圆轨道的半径必须满足
R≤0.24m或R≥0.6m 
答：（1）滑块在小车上运动的过程中，滑块的加速度大小为2m/s²，小车的加速度大小为4m/s²；
（2）小车与墙壁碰撞时的速度是4m/s；
（3）要滑块能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道，半圆轨道的半径R的取值为R≤0.24m或R≥0.6m．