Question

（2009?天津）如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应为B，方向垂直xOy平面向里，电场线平行于y轴．一质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从y轴上的A点水平向右抛出，经x轴上的M点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从x轴上的N点第一次离开电场和磁场，MN之间的距离为L，小球过M点时的速度方向与x轴的方向夹角为θ．不计空气阻力，重力加速度为g，求
（1）电场强度E的大小和方向；
（2）小球从A点抛出时初速度v₀的大小；
（3）A点到x轴的高度h．

Answer 1

分析：小球从A到M做平抛运动，从M到N做匀速圆周运动，说明重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力．由几何知识求得半径，进而求出速度，并机械能守恒定律求出A点到x轴的高度h．

解答：解：（1）小球在电场、磁场中恰能做匀速圆周运动，说明电场力和重力平衡，则有
            qE=mg，得到E=

mg

q

                                       
        重力的方向竖直向下，则电场力方向竖直向上，由于小球带正电，故电场强度方向竖直向上．
    （2）小球做匀速圆周运动，设其设半径为r，由几何关系知
                    r=

L 2

sinθ

=

L

2sinθ

                 
      小球做匀速圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，设小球做圆周运动的速率为v，有
                 qvB=m

v2

r

   得v=

qBr

m

=

qBL

2msinθ

                        
         由速度分解知
                 v₀=vcosθ
          代入得到  v₀=

qBLcotθ

2m

       （3）根据机械守恒定律，有
         mgh+

1

2

m

v

2 0

=

1

2

mv2   h=

v2- v 2 0

2g

      将v₀，v代入得到h=

q2B2L2

8m2g

答：（1）电场强度E的大小为

mg

q

，方向竖直向上；
（2）小球从A点抛出时初速度v₀=

qBLcotθ

2m

；
（3）A点到x轴的高度h=

q2B2L2

8m2g

．

点评：本题属于带电粒子在组合场中运动问题，磁场中圆周运动处理的基本方法是画轨迹，重力场中也可运用运动的合成和分解．