Question

18．如图，一个质量为M的凹槽右侧紧挨着竖直的固定墙面，静止在光滑水平面上，凹槽的内表面ABC是半径为R所谓半圆光滑圆弧，AC是半圆的水平直径，B是半圆的最低点，一质量为m的小球从A点由静止开始下滑，已知m：M=2：3
（1）求小球第一次通过B点时的速度大小
（2）以B点为高度起点，小球第一次通过B点后能够到达的最大高度为多少？
（3）小球达到最高点后又返回B点时，小球与凹槽的速度各为多少？

Answer 1

分析 （1）小球向B运动的过程中，只有重力做功，由动能定理即可求出速度；
（2）小球从B向C运动的过程中，小球与槽组成的系统在水平方向满足动量守恒定律，到达最高点时，二者的速度相等，由动量守恒定律和机械能守恒即可求出；
（3）小球达到最高点后又返回B点的过程中，小球与槽组成的系统在水平方向满足动量守恒定律，由动量守恒定律和机械能守恒定律即可求出．

解答 解：（1）A到B的过程中重力做功，$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=mgR$，得：
${v}_{1}=\sqrt{2gR}$
（2）小球从B向C运动的过程中，小球与槽组成的系统在水平方向满足动量守恒定律，到达最高点h时，二者的速度相等，选取向左为正方向，由动量守恒定律得：
mv₁=（m+M）v₂
得：${v}_{2}=\frac{m{v}_{1}}{m+M}$
由机械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=\frac{1}{2}（m+M）{v}_{2}^{2}+mgh$
整理得：$h=\frac{MR}{M+m}$
（3）小球达到最高点后又返回B点的过程中，小球与槽组成的系统在水平方向满足动量守恒定律，选取向左为正方向，由动量守恒定律得：
$（m+M）{v}_{2}=\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{4}^{2}$
又机械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{4}^{2}=\frac{1}{2}（m+M）{v}_{2}^{2}+mgh$
整理得：${v}_{3}=\frac{（m-M）{v}_{1}}{m+M}$=$\frac{（m-M）\sqrt{2gR}}{M+m}$，${v}_{4}=\frac{2m{v}_{1}}{m+M}=\frac{2m\sqrt{2gR}}{M+m}$
答：（1）小球第一次通过B点时的速度大小是$\sqrt{2gR}$；
（2）以B点为高度起点，小球第一次通过B点后能够到达的最大高度为$\frac{MR}{M+m}$；
（3）小球达到最高点后又返回B点时，小球与凹槽的速度各为$\frac{（m-M）\sqrt{2gR}}{M+m}$，$\frac{2m\sqrt{2gR}}{M+m}$．

点评 本题是两个物体组成系统的动量守恒问题，由于研究的过程较多，所以难度系数稍微增大．该题只要按照规范的步骤逐步分析，即可正确解答．