Question

磁悬浮铁路系统是一种新型的交通运输系统，它是利用电磁系统产生的排斥力将车辆托起，使整个列车悬浮在导轨上，同时利用电磁力进行驱动，采用直线电机模式获得驱动力的列车可简化为如下情境：固定在列车下端的矩形金属框随车平移；轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场，磁感应强度沿Ox方向按正弦规律分布，最大值为B₀，其空间变化周期为2d，整个磁场以速度v₁沿Ox方向向前高速匀速平移，列车以速度V₂沿Ox方向匀速行驶，且v₁＞v₂，从而产生感应电流，受到的安培力即为列车向前行驶的驱动力．设金属框电阻为R，长PQ=L，宽NP=d，求：

（1）如图为列车匀速行驶时的某一时刻，设为t=0时刻，MN、PQ均处于磁感应强度最大值处，此时金属框内感应电流的大小和方向．
（2）从t=0时刻起列车匀速行驶S距离的过程中，矩形金属线框产生的焦耳热．
（3）列车匀速行驶时所获得的最大驱动力的大小，并定性画出驱动力功率随时间变化在2d/v₁-v₂时间内的关系图线．

Answer 1

分析：（1）由题v₁＞v₂，线框中MN、PQ都切割磁感线，相对于磁场向左运动，从而产生感应电流，感应电流方向由右手定则判断．线框相对于磁场速度大小为v₁-v₂，MN、PQ都产生感应电动势，可公式求出感应电动势和感应电流．
（2）列车匀速行驶过程中，线框中产生正弦式交变电流，根据有效值求出金属线框产生的焦耳热．
（3）当MN、PQ应位于磁场中磁感应强度同为最大值且方向相反处时，线框中产生的感应电动势最大，感应电流最大，金属框左右两边所受安培力最大，列车获得的驱动力最大，根据电磁感应知识求出最大驱动力表达式和其功率表达式．

解答：解：（1）磁场沿x轴方向运动，v₁＞v₂，金属框相对于磁场向x轴负方向运动，MN、PQ所在处磁感应强度方向相反，
         金属框中产生的总电动势为E=2B₀L（v₁-v₂）
         感应电流I=

E

R

=

2B0L(v1-v2)

R

         根据右手定则，感应电流方向为N→M→Q→P→N
   （2）由题意，金属框t=0时刻所在处磁感应强度最大．则设经过时间为t，金属框MN、PQ所在处磁感应强度大小
       均为B，则B=B₀cosωt，ω=

2π

T

，又T=

2d

v1-v2

       得到ω=

π(v1-v2)

d

      电流的瞬时值为i=

2B0L(v1-v2)

R

cos

π(v1-v2)

d

      可知，该电流为正弦式交变电流，其有效值为
         I=

Im

2

，Im=

2B0L(v1-v2)

R

      列车匀速行驶S距离经历时间t=

S

v2

 
   故矩形金属线框产生的焦耳热Q=I²Rt
   将上述各式代入，得Q=

2 B 2 0 L2S(v1-v2)2

Rv2

（3）为使列车获得最大的驱动力，MN、PQ应位于磁场中磁感应强度同为最大值且方向相反处，产生的感应电动势最大，感应电流最大，金属框左右两边所受安培力最大．
   MN、PQ所受安培力大小相等，F_MN=FP_Q=B₀I_mL
得到最大驱动力F=2F_MN=

4 B 2 0 L2(v1-v2)

R

中
由第（2）问可知，
经过t时刻B=B₀cosωt=B0cos

π(v1-v2)

d

t
         i=

2B0L(v1-v2)

R

cos

π(v1-v2)

d

得到驱动力瞬时值表达式是
        F=2BiL=

4 B 2 0 L2(v1-v2)

R

cos2

π(v1-v2)

d

t
驱动力功率的瞬时值P=Fv₂
得到P=

2 B 2 0 L2v2

R

【1+cos

2π(v1-v2)

d

t】
则驱动力功率随时间变化在

2d

v1-v2

时间内的关系图线．

答：（1）金属框内感应电流的大小

E

R

为

2B0L(v1-v2)

R

，方向为N→M→Q→P→N．
    （2）从t=0时刻起列车匀速行驶S距离的过程中，矩形金属线框产生的焦耳热Q为

2 B 2 0 L2S(v1-v2)2

Rv2

；
    （3）列车匀速行驶时所获得的最大驱动力的大小为

4 B 2 0 L2(v1-v2)

R

，驱动力功率随时间变化在2d/v₁-v₂时间内的关系图线如上图．

点评：本题是电磁学知识在科学技术中的应用，是复杂的电磁感应现象．通过本题的研究可以培养分析问题和解决实际问题的能力．