Question

12．继嫦娥一号首张月球照片公布后，卫星又从月面拍到了一个形似“嫦娥与狗”的特殊撞击坑．在这个撞击坑里，左侧的地形形似长袂飘飘的嫦娥，而右下方地形则形似一只向嫦娥举起前足的小狗（见图1）．现在将该坑视为竖直截面为半圆的碗型坑，且圆的半径为r，AB为沿水平方向的直径．若宇航员在A点正上方P点沿平行AB方向抛出一小球，经时间t，小球恰沿径向击中坑壁上的Q点，且∠BOC=53°（见图2）．月球的半径为R，万有引力常量为G．（sin53°=0.8；cos53°=0.6）求：
（1）小球在P的速度v₀大小；
（2）P点的高度h；
（3）月球的质量M．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动规律可明确小球在水平方向上速度大小；
（2）将落地速度进行分解，由几何关系确定抛出点的高度；
（3）根据匀变速直线运动公式可求得重力加速度，现有万有引力充当向心力可求得月球的质量．

解答 解：（1）由几何关系可知，小球在水平方向上通过的位移x=r+rcos53°=1.6r；
由于小球在水平方向做匀速直线运动，则P点的速度v₀=$\frac{x}{t}$=$\frac{1.6r}{t}$；
（2）竖直分速度v_y=v₀tan53°=$\frac{1.6r}{t}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{6.4r}{3t}$；
则由几何关系可知：h+rsin53°=$\frac{{v}_{y}t}{2}$
解得：h=$\frac{3.2r}{3}$-0.8r=0.27r；
（3）由v_y=gt可得：
g=$\frac{{v}_{y}}{t}$=$\frac{6.4r}{3{t}^{2}}$
则由万有引力公式可得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
解得：M=$\frac{6.4r}{3G{t}^{2}}{R}^{2}$
答：（1）小球在P的速度v₀大小为$\frac{1.6r}{t}$；
（2）P点的高度h为0.27r
（3）月球的质量M为$\frac{6.4r}{3G{t}^{2}}{R}^{2}$

点评 本题考查平抛运动、万有引力公式等，要注意掌握平抛运动的规律应用，以及星球表面万有引力充当向心力求解质量的方法．