Question

（2010?镇江一模）在光滑绝缘的水平面（纸面）上建有如图所示的平面直角坐标系，在此水平面上可视为质点的不带电小球a静止于坐标系的原点O，可视为质点的带正电小球b静止在坐标为（0，-h）的位置上．现加一方向沿y轴正方向、电场强度大小为E、范围足够大的匀强电场，同时给a球以某一速度使其沿x轴正方向运动．当b球到达坐标系原点O时速度为v₀，此时立即撤去电场而改加一方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B、范围足够大的匀强磁场，最终b球能与a球相遇．求：
（1）b球的比荷

q

m

；
（2）从b球到达原点O开始至b球与a球相遇所需的时间；
（3）撤去电场时，a球的位置坐标．

Answer 1

分析：（1）b球在电场力作用下做匀加速运动，电场力做功等于b球的动能变化，根据动能定理可求得b球的比荷

q

m

；
（2）b球到达原点O后在洛伦兹力作用下而做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可求出圆周运动的半径，由圆周运动知识求出周期T．如图，b球只能与a球在图中的S处相遇，即可根据周期性求出时间．
（3）a球从O点开始运动到S点的过程中，b球先做匀加速直线运动，后做匀速圆周运动，a球做匀速直线运动，两球运动的时间相同，即可得到a球从开始运动到两球相遇所用的时间，位移等于b球圆周运动的直径，由公式v=

x

t

可求出a球的速度，再由位移公式求解出撤去电场时，a球的位置坐标．

解答：解：（1）b球在电场力作用下加速，由动能定理得：qEh=

1

2

m

v

2 0

 则b球的比荷为

q

m

=

v 2 0

2Eh

（2）b球运动到原点后，只在磁场力作用下，在水平面上做匀速圆周运动，有：qv₀B=m

v 2 0

R

得：R=

mv0

qB

 
b球圆周运动的周期为 T=

2πR

v0

=

2πm

qB

=

4πhE

B v 2 0

b球只能与a球相遇在图中的S处，相遇所需时间为：
t=（k+

1

2

）T=（k+

1

2

）

4πhE

B v 2 0

，（k=1，2，3，…） 
（3）a球从O点开始运动到S点，与b球相遇所用时间为：t′=t₁+t
由h=

v0

2

t1得：t1=

2h

v0

a球通过的位移为：OS=2R
由v=

2R

t1+t

可得a球的速度为：v=

2Ev0

Bv0+(2k+1)πE

则撤去电场时，a球在x轴上的坐标为：x₀=vt₁=

4Eh

Bv0+(2k+1)πE

球的位置为（

4Eh

Bv0+(2k+1)πE

，0）（k=1，2，3，…）
答：（1）b球的比荷

q

m

为

v 2 0

2Eh

；
（2）从b球到达原点O开始至b球与a球相遇所需的时间是

4πhE

B v 2 0

，（k=1，2，3，…）；
（3）撤去电场时，a球的位置坐标是（

4Eh

Bv0+(2k+1)πE

，0）（k=1，2，3，…）．

点评：本题的解题关键是分析两球的运动过程，抓住两球运动的同时性，以及b球圆周运动的周期性即可求出时间．