Question

（15分）某球形天体的密度为ρ₀，引力常量为G．

⑴证明对环绕密度相同的球形天体表面运行的卫星，运动周期与天体的大小无关．（球的体积公式为，其中R为球半径）

⑵若球形天体的半径为R，自转的角速度为，表面周围空间充满厚度 (小于同步卫星距天体表面的高度)、密度的均匀介质，试求同步卫星距天体表面的高度。

Answer 1

（1）设环绕其表面运行卫星的质量为m，运动周期为T，球形天体半径为R，天体质量为M，由牛顿第二定律有                  

                              ①      （3分）

而                                ②      （1分）

由①②式解得 ，可见T与R无关，为一常量．         （3分）

（2）设该天体的同步卫星距天体中心的距离为r，同步卫星的的质量为m₀，则有

                        ③      （3分）

而                         ④      （2分）

由②③④式解得                                   （2分）

则该天体的同步卫星距表面的高度             （1分）