Question

10．如图（a）所示，为游乐园中“蛟龙入水”的娱乐项目，装置可以简化成如图（b）所示，AB为$\frac{1}{4}$圆弧管道，半径为R=5m（R远大于管径），B端水平，两端开口，内有流水，B端距水面高h=1.8m．某次一位质量为m=50kg的游客从A处由静止出发，至C点入水，C点到B正下方水面处D点距离为L=3m．求：
（1）游客在B出对管道的压力F；
（2）游客从A到B，克服所有阻力所做的功W；
（3）为求刺激，游客可以从A处有初速度进入管子以增加到达B的速度v_B，改变试管中身体的状态，增大水的阻力来减小v_B，为了使入水点到D点的距离控制在1.5m-4.5m，求v_B的范围．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动的特点求出B点的速度，通过牛顿第二定律求出B点支持力．
（2）由动能定理即可求出游客从A到B，克服所有阻力所做的功W．
（3）根据（1）的公式即可求出．

解答 解：（1）从B到C的过程中，竖直方向自由落体，设用时为t，则有：h=$\frac{1}{2}$gt²，
代入数据解得：t=0.6s
水平方向过B点的速度：v_B=$\frac{L}{t}=\frac{3}{0.6}=5$m/s
对B点牛顿第二定律，则游客刚运动到B点时，他受到轨道的支持力满足：F_N-mg=$\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$
代入数据解得：F_N=750N
根据牛顿第三定律可知，客在B出对管道的压力也是750N．
（2）对B到C动能定理，A到B的过程中：$mgR-W=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入数据得：W=1875J
（3）当入水点到D点的距离是1.5m时：v_B=$\frac{{L}_{1}}{t}=\frac{1.5}{0.6}=2.5$m/s
当入水点到D点的距离是4.5m时：v_B=$\frac{{L}_{2}}{t}=\frac{4.5}{0.6}=7.5$m/s
v_B的范围为：2.5m/s≤v_B≤7.5m/s
答：（1）游客在B出对管道的压力是750N；
（2）游客从A到B，克服所有阻力所做的功是1875J；
（3）v_B的范围为2.5m/s≤v_B≤7.5m/s．

点评 本题考查了牛顿第二定律和动能定理的综合，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律和圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．