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    为了迎接2008年北京奥运会的召开，我市某校的物理兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字是用内壁光滑的薄壁细圆玻璃管弯成，固定在竖直平面内（所有数字均由圆形和直圆管组成，P点与M、N点等高，圆半径比细管的内径大得多），底端与水平地面相切．右端的弹射装置将一个小球（小球的直径略小于玻璃管的内径，且可以视为质点），以va=5m/s的水平初速度由a点弹出，从b点进入玻璃轨道，依次经过“8002”后从p点水平抛出．设小球与地面ab段间的动摩擦因数u=0.3，不计其它机械能损失．已知ab段长x=1.5m，数字“0”的半径R=0.2m，小球的质量m=0.01kg，取g=10m/s2．试求：

    （1）小球运动到数字“8”的最高点N处和数字“0”的最高点M处的角速度之比．
    （2）小球到达数字“8”的最高点N时管道对小球作用力的大小和方向．
    （3）小球从p点抛出后落到地面时的速度．
    分析：（1）根据机械能守恒定律知小球在数字“8”的最高点N处和数字“0”的最高点M处速度大小相等，根据v=rω得出角速度之比．
    （2）对小球由位置a经b运动到N点的过程，应用动能定理求出N点的速度，根据牛顿第二定律求出轨道对球的弹力大小和方向．
    （3）P点的速度与N点的速度相等，根据平抛运动的规律求出小球落地的速度大小和方向．
    解答：解：（1）由机械能守恒定律知，小球在M和N两点的速度相同，由公式v=ωr得两点的角速度之比为
    ωN
    ωM
    =
    RM
    RN
    =
    2
    1

    （2）小球由位置a经b运动到N点的过程，应用动能定理得：μmgx+mg×2R=
    1
    2
    m
    v
    2
    a
    -
    1
    2
    m
    v
    2
    N

    v
    2
    N
    =
    v
    2
    a
    -4gR-2μgx
    =52-4×10×0.2-2×0.3×10×1.5
    =8 

    设小球在N点轨道给它的压力为FN，由牛顿第二定律得FN+mg=m
    v
    2
    N
    R/2

    FN=2m
    v
    2
    N
    R
    -mg=2×0.01×
    8
    0.2
    -0.01×10=0.7(N)
    方向竖直向下                                                    
    （3）由机械能守恒定律知，小球过P点以速度vP=vN=
    		8
    m/s    做平抛运动，则有    
    2R=
    1
    2
    gt2    t=
    4R
    g
    =
    4×0.2
    10
    =
    		2
    5
    (s)
    vy=gt=10×
    		2
    5
    =2
    		2
    (m/s)
    小球的落地速度为v=
    v
    2
    x
    +
    v
    2
    y
    =
    		8+8
    =4(m/s)
    设落地速度与水平方向的夹角为θ，则有tanθ=
    vy
    vp
    =
    		8
    		8
    =1
    θ=45°
    答：（1）小球运动到数字“8”的最高点N处和数字“0”的最高点M处的角速度之比为
    2
    1
    ．
    （2）小球到达数字“8”的最高点N时管道对小球作用力的大小为0.7N，方向竖直向下．
    （3）小球从p点抛出后落到地面时的速度为4m/s，与 水平方向的夹角为45°．
    点评：本题综合考查了动能定理、机械能守恒定律和牛顿第二定律，涉及到直线运动、圆周运动和平抛运动，综合性较强，关键理清运动过程，选择适当的研究过程，运用动能定理或机械能守恒定律解题．
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    v
    t
    v
    t
    ；在此段时间t内列车通过的路程为
    vt
    2
    vt
    2
    ．

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