Question

17．如图所示：一个$\frac{3}{4}$圆弧形光滑圆管轨道ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，在A 点与水平地面AD相接，地面与圆心O等高，MN 是放在水平地面上长为3R、厚度不计的减振垫，左端M正好位于A点．一个质量为m的小球从A处管口正上方某处由静止释放，若不考虑空气阻力，小球可看作质点，那么以下说法中正确的是（　　）

• A． 要使球能从C点射出后能打到垫子上，则球经过C点时的速度至少为$\sqrt{gR}$
• B． 要使球能从C点射出后能打到垫子上，则球经过C点时的速度至少为$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
• C． 若球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，则球经过C点时对管的作用力大小为$\frac{mg}{2}$，方向向下
• D． 要使球能通过C点落到垫子上，球离A点的最大高度是2.5R

Answer 1

分析 要使球能从C点射出后能打到垫子上，小球平抛运动的水平位移最大为4R，最小为R，根据平抛运动的规律和机械能守恒定律结合求解．

解答 解：AB、要使球能从C点射出后能打到垫子上，从C点开始做平抛运动，竖直分位移为R，水平分位移设为x，故有：
  R=$\frac{1}{2}$gt²；
  x=v_Ct
其中：4R≥x≥R
解得：$\sqrt{\frac{gR}{2}}$≤v_C≤$\sqrt{8gR}$，即球经过C点时的速度至少为$\sqrt{\frac{gR}{2}}$．故A错误，B正确；
C、若球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，由上知，球在C点的速度为$\sqrt{\frac{gR}{2}}$；
在C点，重力和支持力的合力提供向心力，设支持力向下，根据牛顿第二定律，有：
  N+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：N=-$\frac{1}{2}$mg，负号表示N的方向向上；根据牛顿第三定律知，球对管的作用力大小大小为$\frac{mg}{2}$，方向向下．故C正确．
D、要使球能通过C点落到垫子上N点，球离A点的高度最大，由上可知球在C点的速度为$\sqrt{8gR}$，根据动能定理，有：
   mgh=mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$，解得：h=5R，故D错误．
故选：BC

点评 本题关键明确小球的运动规律，知道小球经过C点的向心来源：合外力，明确隐含的临界条件，结合牛顿第二定律、向心力公式、平抛运动的分运动公式和机械能守恒定律列式求解．