Question

7．如图所示，质量m=1kg的小滑块，轻质弹簧的一端与滑块相连，弹簧的另一端固定在挡板上，光滑斜面和光滑圆筒形轨道平滑连接，开始时弹簧处于压缩状态，滑块和小球均处于锁定状态，圆弧的轨道半径R和斜面的顶端C离地面的高度均为1m，斜面与水平面夹角θ=60°，现将滑块解除锁定，滑块运动到C点与小球M相碰时弹簧刚好恢复原长，相碰瞬间小球的锁定被解除，碰后滑块和小球以大小相等的速度向相反的方向运动，碰后小球沿光滑圆筒轨道运动到最高点D水平抛出时对圆筒壁刚好无压力，若滑块与小球碰撞过程时间极短且碰撞过程没有能量损失．g=10m/s²求：
（1）小球从D点抛出后运动的水平距离；
（2）小球的质量；
（3）已知弹簧的弹性势能表达式为E_P=$\frac{1}{2}$k△x²为弹簧的劲度系数，△x为弹簧的形变量），求滑块碰后返回过程中滑块的最大动能．

Answer 1

分析 （1）小球从D点抛出后做平抛运动，要求水平距离，必须求出小球经过D点时的速度，此速度根据重力等于向心力求得．由几何关系求出D点离地高度，从而求得平抛运动的时间，即可求解水平距离．
（2）研究碰后小球从C运动到D的过程，由机械能守恒定律求出滑块与小球碰撞后瞬间小球的速度．对于滑块与小球碰撞过程，根据动量守恒定律和机械能守恒定律列式，即可求得小球的质量；
（3）滑块碰后返回过程中重力沿斜面向下的分力与弹簧的弹力平衡时动能最大，由胡克定律求出此时弹簧的压缩量，再由滑块和弹簧系统机械能守恒，求滑块的最大动能．

解答 解：（1）设小球经过D点时的速度为v_D．小球的质量为M．
在D点，有 Mg=M$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$，得 v_D=$\sqrt{10}$m/s
D点离地面的高度 h=R-Rsin30°=$\frac{R}{2}$=0.5m
小球从D点抛出后做平抛运动，则有 h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
小球从D点抛出后运动的水平距离 x=v_Dt
联立解得 x=1m
（2）设滑块与小球碰撞前的速度大小为v₀，碰后小球的速度为v_C．
小球从C运动到D的过程，由机械能守恒定律得
   MgR（1-cos60°）+$\frac{1}{2}M{v}_{D}^{2}$=$\frac{1}{2}M{v}_{C}^{2}$
解得 v_C=2$\sqrt{5}$m/s
对于滑块与小球碰撞过程，取沿斜面向上为正方向，由动量守恒定律有 
  mv₀=-Mv_C+mv_C．
由能量守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$Mv_C²+$\frac{1}{2}$mv_C²．
联立解得 M=3m=3kg，v₀=4$\sqrt{5}$m/s
（3）滑块碰后返回过程中重力沿斜面向下的分力与弹簧的弹力平衡时动能最大，也即在原来静止的位置动能最大．设此时弹簧的压缩量为x．由胡克定律得
    mgsin60°=kx
滑块从B点被弹至C点的过程，由机械能守恒定律得 mgxsin60°+$\frac{1}{2}k{x}^{2}$=$\frac{1}{2}$mv₀²．
滑块从C点运动到B点的过程，由机械能守恒定律得 mgxsin60°+$\frac{1}{2}$mv₀²=E_km+$\frac{1}{2}k{x}^{2}$
联立解得滑块的最大动能 E_km=$\frac{160}{3}$J
答：
（1）小球从D点抛出后运动的水平距离是1m；
（2）小球的质量是3kg；
（3）滑块的最大动能是$\frac{160}{3}$J．

点评 解决力学综合题时首先要搞清物体的运动过程，把握每个过程和状态的物理规律．要明确滑块的合力为零时速度最大．