Question

16．如图所示，光滑绝缘水平面上方空间被竖直的与纸面垂直的平面MN分隔成两部分，左侧空间存在一水平向右的匀强电场，场强大小E₁=$\frac{mg}{q}$，右侧空间有一长为R=0.8m轻质绝缘细绳，绳的一端固定于O点，另一端拴一个质量m₂=m的不带电的小球B正在与纸面平行的竖直面内做顺时针圆周运动，运动到最低点时速度大小V_B=8m/s，B物体在最低点时与地面接触但没有相互作用力．在MN左侧空间中有一个质量为m₁=m的带正电的物体A，电量大小为q，在水平面上与MN平面水平间距为L时由静止释放，恰好能和B物体在B运动的最低点处发生正碰，并瞬间成为一个整体C，碰后瞬间在MN的右侧空间立即加上一竖直向上的匀强电场，场强大小E₂=3E₁．
（1）如果L=0.2m，求出整体C运动到最高点时的瞬时速度大小，及此时绳拉力是物体重力的多少倍？
（2）当L满足什么条件时，整体C可以在竖直面内做一个完整的圆周运动．

Answer 1

分析 （1）对物体A，根据动能定理求出A与B碰撞前的速度，碰撞过程，由动量守恒求出碰后的共同速度．对于共同体，从最低点到最高点的过程，根据动能定理求出到达最高点的速度大小，由牛顿第二定律求出绳子的拉力大小．
（2）对于整体C，所受的电场力qE₂=3mg，方向竖直向上，与总重力2mg的合力方向竖直向上，在最低点有最小速度．根据C顺时针和逆时针转动，根据动量守恒和能量守恒求出L

解答 解：（1）设A与B碰撞之前A的速度为v₀，对A由动能定理可得：
$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}=qEL$
解得 ${v}_{0}=\sqrt{\frac{2qEL}{m}}=2m/s$
A与B相互作用时在水平方向上动量守恒，设作用后整体C的速度为V，设向左为正：
mV_B-mv₀=2mV            
V=3m/s       
 顺时针转动    
设当C运动到最高点时的速度为V₁则由动能定理可得：
$\frac{1}{2}•2{mv}_{1}^{2}=\frac{1}{2}•2m{v}^{2}+2（{E}_{2}q-2mg）R$
解得    V₁=5m/s    
在最高点对整体C受力分析可得：
$T+2mg-{E}_{2}q=\frac{2{mv}_{1}^{2}}{R}$
解得    T=7.25mg                        
（2）合成整体C后，由于qE₂=3mg＞2mg合力向上对整体C做正功，所以在轨迹的最低点处C有最小速度为V₂则此时：
${E}_{2}q-2mg=\frac{2{mv}_{2}^{2}}{R}$
解得        V₂=2m/s            
设A与B成为碰撞成为整体后顺时针转动有：
mv_B-mv₀=2mv₂   
 V₀=V_B-2V₂；        
$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}=EqL$            ${v}_{0}=\sqrt{\frac{2EqL}{m}}$
联上式可得    L=0.8m
故L满足的条件为L≤0.8m                            
设A与B成为碰撞成为整体后逆时针转动有：
mv₀-mv_B=2mv₂        V₀=V_B+2V₂；        
$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}=EqL$            ${v}_{0}=\sqrt{\frac{2EqL}{m}}$
联上式可得    L=7.2m
故L满足的条件为L≥7.2m                                
答：（1）如果L=0.2m，求出整体C运动到最高点时的瞬时速度大小，及此时绳拉力是物体重力的7.25倍
（2）当L满足L≤0.8m 或L≥7.2m时，整体C可以在竖直面内做一个完整的圆周运动．

点评 本题是动能定理、向心力、动量守恒守恒定律的综合应用，难点是分析整体C做完整圆周运动的条件