Question

3．2016年9月15日，搭载着“天宫二号”空间实验室的“长征二号F”运载火箭在酒泉卫星发射中心正式点火升空，“天空二号”顺利地进入运行圆轨道．某同学从网上查得“天宫二号”的运行轨道离地高度为h，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，由此可得天宫二号的（　　）

• A． 运行周期T=2$π\sqrt{\frac{（{R+h）}^{2}}{gR}}$
• B． 运行的线速度v=$\sqrt{\frac{{gR}^{2}}{R+h}}$
• C． 角速度$ω=\sqrt{\frac{{gR}^{2}}{（{R+h）}^{3}}}$
• D． 向心加速度大小a=$\frac{gR}{R+h}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，结合万有引力等于重力求出角速度、线速度、向心加速度和周期的大小．

解答 解：根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$=$m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R+h}$=$m{ω}_{\;}^{2}（R+h）$=ma，得$T=2π\sqrt{\frac{（R+h）_{\;}^{3}}{GM}}$，$v=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$，$ω=\sqrt{\frac{GM}{（R+h）_{\;}^{3}}}$，$a=\frac{GM}{（R+h）_{\;}^{2}}$
由地球表面物体重力等于万有引力，有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$，得$GM=g{R}_{\;}^{2}$
所以运行周期$T=2π\sqrt{\frac{（R+h）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$，运行的线速度$v=\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{R+h}}$
角速度$ω=\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{（R+h）_{\;}^{3}}}$，向心加速度$a=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{（R+h）_{\;}^{2}}$，故BC正确，AD错误；
故选：BC

点评 解决本题的关键掌握万有引力两个理论的运用：1、万有引力提供向心力；2、万有引力等于重力．