Question

15．在竖直平面内有一个光滑的半圆轨道，轨道两端连线即直径在竖直方向，轨道半径为0.9m，一个质量为0.5kg的小球以一定的初速度滚上轨道（g取10m/s²，结果保留一位小数）求：
（1）小球在最高点不脱离轨道的最小速率是多少？
（2）小球在最高点速率v=4m/s时，小球对轨道的压力是多少？
（3）小球以v=8m/s的速率从最高点离开轨道，落地时的速度大小是多少？方向如何？

Answer 1

分析 （1）在最高点小球不脱离轨道的条件是重力不大于小球做圆周运动所需要的向心力，由牛顿第二定律列式求解最小速度．
（2）由牛顿第二定律列式求解轨道对小球的压力，进而求解小球对轨道的压力
（3）从最高点离开轨道，做平抛运动，由运动分解与合成的知识求解．

解答 解：（1）在最高点小球不脱离轨道的条件是重力不大于小球做圆周运动所需要的向心力
即mg≤m$\frac{{v}^{2}}{r}$
则所求的最小速率v_min=$\sqrt{gr}$=$\sqrt{10×0.9}$=3m/s
（2）因为v=4m/s＞v_min，所以轨道对小球有一定的压力F
则 F+mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
所以 F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$-mg=0.5×$\frac{{4}^{2}}{0.9}$-5≈3.9N
由牛顿第三定律知，小球对轨道的压力F′=F=3.9N
（3）小球以v=8m/s的速率从最高点离开轨道后做平抛运动，则
 2r=$\frac{1}{2}$gt²
所以t=2$\sqrt{\frac{r}{g}}$=2×$\sqrt{\frac{0.9}{10}}$=0.6s
落地时竖直方向分速度 v_y=gt=6m/s
合速度 v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10m/s
设落地速度与水平方向的夹角为θ
则tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{6}{8}$=0.75，则θ=37°
答：
（1）小球在最高点不脱离轨道的最小速率是3m/s
（2）小球对轨道的压力是3.9N
（3）落地时的速度大小是10m/s，方向与水平方向的夹角为37°．

点评 本题主要考查了向心力公式及平抛运动基本公式的直接应用．要掌握竖直平面内圆周运动临界条件：重力充当向心力，得到最小速度为$\sqrt{gr}$．