Question

7．冥王星绕太阳的公转轨道是个椭圆，公转周期为T₀，质量为m，其近日点A到太阳的距离为a，远日点C到太阳的距离为b，半短轴的长度为c，A、C两点的曲率半径均为ka（通过该点和曲线上紧邻该点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做该点曲率半径），如图所示，若太阳的质量为M，万有引力常量为G，忽略其他行星对它的影响及太阳半径的大小，则（　　）

• A． 冥王星从A→B所用的时间等于$\frac{{T}_{0}}{4}$
• B． 冥王星从C→D→A的过程中，万有引 力对它做的功为$\frac{1}{2}$GMmk（$\frac{2}{a}$-$\frac{a}{{b}^{2}}$）
• C． 冥王星从C→D→A的过程中，万有引力对它做的功为$\frac{1}{2}$GMmk（$\frac{1}{a}$-$\frac{a}{{b}^{2}}$）
• D． 冥王星在B点的加速度为$\frac{4GM}{（b-a）^{2}+{c}^{2}}$

Answer 1

分析 熟记理解开普勒的行星运动三定律：
第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上．
第二定律：对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等．
第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．
根据功能关系知万有引力做功

解答 解：A、公转周期为T₀，冥王星从A→C的过程中所用的时间是0.5T₀，
由于冥王星从A→B→C的过程中，速率逐渐变小，从A→B与从B→C的路程相等，
所以冥王星从A→B所用的时间小于$\frac{1}{4}$T₀，故A错误；
BC、万有引力对它做的功等于势能的减小量，等于动能的增加量为：W=$\frac{1}{2}$m${v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{C}^{2}$，根据万有引力充当向心力知：G$\frac{Mm}{{a}^{2}}$=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{ka}$，GM $\frac{m}{{b}^{2}}$=m $\frac{{v}_{C}^{2}}{ka}$，联立解得万有引力对它做的功为：W=$\frac{1}{2}$GMmk（$\frac{1}{a}$-$\frac{a}{{b}^{2}}$），故C正确，B错误；
D、设B到太阳的距离为x，则有：x²=c²+$\frac{（b-a）^{2}}{4}$，根据万有引力充当向心力知：$\frac{GMm}{{x}^{2}}$=ma，知冥王星在B点的加速度为：a=$\frac{4GM}{{（b-a）}^{2}+4{c}^{2}}$，故D错误；
故选：C

点评 正确理解开普勒的行星运动三定律是解答本题的关键，会根据功能关系和万有引力充当向心力求解动能变化得引力做功多少