Question

15．如图所示，一个很长的竖直放置的圆柱形磁铁，产生一个中心辐射的磁场（磁场水平向外），其大小为B=$\frac{k}{r}$（其中r为辐射半径），设一个与磁铁同轴的圆形铝环，半径为R（大于圆柱形磁铁的半径），而弯成铝环的铝丝其横截面积为S，圆环通过磁场由静止开始下落，下落过程中圆环平面始终水平，已知铝丝电阻率为ρ，密度为ρ₀，试求：
（1）圆环下落的速度为v时的电功率
（2）圆环下落的最终速度
（3）当下落高度h时，速度最大，从开始下落到此时圆环消耗的电能．

Answer 1

分析 （1）根据切割产生的感应电动势，抓住切割的有效长度求出感应电动势的大小，通过闭合电路欧姆定律求出电流的大小，从而求出圆环下落的速度为v时的电功率．
（2）当重力等于安培力时，速度最大，根据平衡，结合切割产生的感应电动势公式、闭合电路欧姆定律以及安培力大小公式求出最终的速度大小．
（3）有能量守恒即可判断

解答 解：（1）由题意知圆环所在处在磁感应强度B为：B=$\frac{k}{R}$
当环速度为v时，切割磁感线产生的电动势为：E=Blv=2kπv
电流为：I=$\frac{E}{{R}_{电}}$=$\frac{kvS}{ρR}$    
电功率为：P=I²R_电=$\frac{2π{k}^{2}{v}^{2}S}{ρR}$
（2）当圆环加速度为零时，有最大速度v_m
此时F_安=BIL=$\frac{2π{k}^{2}{v}_{m}S}{ρR}$
由平衡条件mg=F_安
又m=2πRρ₀S
联立⑧⑨⑩解得v_m=$\frac{ρ{ρ}_{0}{R}^{2}g}{{k}^{2}}$
（3）由能量守恒定律mgh=$\frac{1}{2}$mv_m²+Q
解得Q=mgh-$\frac{1}{2}$mv_m²=2πρ₀RS（gh-$\frac{1}{2}$$\frac{{{ρ}^{2}ρ}_{0}^{2}{R}^{4}{g}^{2}}{{k}^{4}}$）
答：（1）圆环下落的速度为v时的电功率$\frac{2π{k}^{2}{v}^{2}S}{ρR}$
（2）圆环下落的最终速度$\frac{ρ{ρ}_{0}{R}^{2}g}{{k}^{2}}$
（3）当下落高度h时，速度最大，从开始下落到此时圆环消耗的电能2πρ₀RS（gh-$\frac{1}{2}$$\frac{{{ρ}^{2}ρ}_{0}^{2}{R}^{4}{g}^{2}}{{k}^{4}}$）

点评 本题考查电磁感应与力学以及能量的综合，掌握切割产生的感应电动势公式、闭合电路欧姆定律等知识，知道当重力等于安培力时，速度最大