Question

10．下列情形中，哪些能求得地球的质量（　　）

• A． 已知地球的半径和地球表面的重力加速度
• B． 已知近地卫星的周期和它的向心加速度
• C． 已知卫星的轨道半径和运行周期
• D． 已知卫星质量和它的离地高度

Answer 1

分析 在忽略地球自传的情况下，在地球表面，重力等于万有引力；人造卫星做匀速圆周运动，它们受到的万有引力充当向心力，用它们的运动周期表示向心力，由万有引力定律结合牛顿第二定律列式求中心天体的质量，然后由选项条件判断正确的答案．

解答 解：A、在忽略地球自传的情况下，在地球表面，重力等于万有引力，故：
$\frac{GMm}{r^2}=mg$
解得：
$M=\frac{{g{r^2}}}{G}$，已知地球的半径和地球表面的重力加速度，可以求得地球的质量，故A正确．
B、对于卫星，万有引力提供向心力，故：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$ 
$\frac{GMm}{{r}^{2}}=ma$ 
综合上述两式解得：
$M=\frac{{{T^4}{a^3}}}{{{{（4{π^2}）}^2}G}}$，
故B正确．
CD、根据万有引力公式$\frac{GMm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，解得：$M=\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{{T^2}G}}$，故C正确．
给出卫星的质量和离地高度，不知道轨道半径和周期，不能求出地球的质量，故D错误
故选：ABC

点评 万有引力的题目涉及到较多的公式和较多的物理量，需要把万有引力公式与各种圆周运动公式结合起来，计算量较大，需要学生平时勤加练习．