Question

18．AB是竖直平面内的四分之一圆弧形轨道，在下端B点与水平轨道相切，如图所示，一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑．已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，不计各处摩擦．求：
（1）小球运动到B点时的动能；
（2）小球下滑到距水平轨道的高度为$\frac{1}{2}$R时的速度大小和方向．
（3）小球经过圆弧轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力各是多大．

Answer 1

分析 （1）从A到B过程，机械能守恒，即可求出小球运动到B点时的动能；
（2）根据机械能守恒可以求得小球下滑到距水平面$\frac{1}{2}R$时的速度大小和方向；
（3）对小球受力分析，由牛顿第二定律可以求得支持力大小．

解答 解：（1）小球从A到B过程中，机械能守恒：
所以${E}_{KB}^{\;}=mgR$
（2）根据机械能守恒，$△{E}_{K增}^{\;}=△{E}_{p减}^{\;}$
$\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}=\frac{1}{2}mgR$
所以小球速度大小$v=\sqrt{gR}$，速度方向沿圆弧的切线向下，小球距水平面高度为$\frac{1}{2}R$，由三角形的关系可知，小球与竖直方向的夹角为30°
（3）根据牛顿运动定律及机械能守恒，在B点：
${F}_{NB}^{\;}-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
$mgR=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得：${F}_{NB}^{\;}=3mg$
在C点时，小球受力平衡，所以${F}_{NC}^{\;}=mg$
答：（1）小球运动到B点时的动能为mgR；
（2）小球下滑到距水平轨道的高度为$\frac{1}{2}$R时的速度大小为$\sqrt{gR}$、方向y沿沿圆弧的切线向下，与竖直方向成30°．
（3）小球经过圆弧轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力分别为3mg、mg

点评 直接利用机械能守恒可以求得本题的结论，小球在B点时是圆周运动的一部分，在此时物体的运动需要向心力．