Question

如图1所示，光滑矩形斜面ABCD的倾角θ=30°，在其上放置一矩形金属线框abcd，ab的边长l₁=1m，bc的边长l₂=0.6m，线框的质量m=1kg，电阻R=0.1Ω，线框通过细线绕过定滑轮与重物相连，细线与斜面平行且靠近；重物质量M=2kg，离地面的高度为H=4.8m；斜面上efgh区域是有界匀强磁场，磁感应强度的大小为0.5T，方向垂直于斜面向上；已知AB到ef的距离为4.2m，ef到gh的距离为0.6m，gh到CD的距离为3.2m，取g=10m/s²；现让线框从静止开始运动（开始时刻，cd边与AB边重合），求：
（1）通过计算，在图2中画出线框从静止开始运动到cd边与CD边重合时（不考虑ab边离开斜面后线框的翻转），线框的速度-时间图象．
（2）线框abcd在整个运动过程中产生的焦耳热．

Answer 1

分析：（1）本题要分过程求线框的速度，再作出图象．
首先，线框abcd由静止沿斜面向上运动，到ab与ef线重合过程中，线框和重物以大小相等的加速度做匀加速运动，采用隔离法，由牛顿第二定律求出两个物体的加速度，由运动学公式求出ab恰好要进入磁场时的速度，或根据动能定理列式求ab恰好要进入磁场时的速度．根据计算得知线框进入磁场后做匀速直线运动，直到cd边离开gh的瞬间为止，此时M刚好着地，细绳松弛，线框继续向上做减速运动，再由牛顿第二定律和运动学公式结合求cd边离开CD的速度，即可作出图象．
（2）根据功能关系列式求热量．

解答：解：（1）解法一：
如图所示，线框abcd由静止沿斜面向上运动，到ab与ef线重合过程中，线框受恒力作用，线框和重物以大小相等的加速度做匀加速运动，设为a₁，则：
  对M：Mg-T=Ma₁
  对m：T-mgsinθ=ma₁
（或对系统直接列出：Mg-mgsinθ=（M+m）a₁亦可）
联立得：①、②a1=

Mg-mgsinθ

M+m

=

20-5

3

=5m/s²     
设ab恰好要进入磁场时的速度为v₀，则：

v

2 0

=2a1s1
解得 v0=

2×5×(4.2-0.6)

=6m/s   
该过程的时间为：t1=

v0-0

a1

=

6

5

=1.2s 
ab边刚进入磁场时：Mg-T=Ma₂
T-mgsinθ-F_A=ma₂
又 F_A=BIl₁ I=

E

R

   E=Bl₁v₀
联立求解得：a2=

MgR-mgRsinθ-B2 l 2 1 v0

(M+m)R

=

20×0.1-5×0.1-0.52×1×6

3×0.1

=0
故线框进入磁场后，做匀速直线运动，直到cd边离开gh的瞬间为止，匀速运动的时间 t2=

2l2

v 0

=

1.2

6

=0.2s 
此时M刚好着地，细绳松弛，线框继续向上做减速运动，其加速度大小为：a3=

mgsinθ

m

=gsinθ=5m/s²．
直到线框的cd边离开CD线．设线框cd边离开CD的速度为v₁
则得-2a3s2=

v

2 1

-

v

2 0

    v1=

v 2 0 -2a3s2

=

36-2×5×3.2

=2m/s 
时间 t3=

v1-v0

-a3

=

2-6

-5

=0.8s 
则线框的速度--时间图象如右图
解法二：
如图所示，线框abcd由静止沿斜面向上运动到ab与ef线重合的过程中，线框和重物在恒力作用下以共同的加速度做匀加速运动．
设ab恰好要进入磁场时的速度为v₀，对线框和重物的整体在这一过程运用动能定理：Mgs1-mgs1sinθ=

1

2

(M+m)

v

2 0

解得：v0=

2gs1(M-msinθ) M+m

=

2×10×(4.2-0.6)(2-0.5) 3

=6m/s 
该过程的时间为：t1=

s1

. v 1

=

s1

0+v0 2

=

4.2-0.6

6 2

=1.2s
ab边刚进入磁场时由于切割磁感线而产生电流，所以线框受到沿斜面向下的安培力作用：FA=BIl1=

B2 l 2 1 v0

R

故此时，F合=Mg-mgsinθ-FA=20-10×0.5-

0.52×12×6

0.1

=0
故线框进入磁场后，做匀速直线运动，直到cd边离开gh的瞬间为止．t2=

2l2

v 0

=

1.2

6

=0.2s                                         
此时M刚好着地，细绳松弛，线框继续向上做减速运动，设线框的cd边到达CD线
的速度为v₁，则对线框有：-mgs2sinθ=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

得v1=

v 2 0 -2gs2?sinθ

=

36-2×5×3.2

=2m/s
  t3=

s2

v0+v1 2

=

3.2

6+2 2

=0.8s 
则线框的速度--时间图象如右图
（2）解法一：Q=2F_Al₂=2（Mg-mgsinθ）l₂=18J 
解法二：Q=Mg?2l₂-mg?2l₂sinθ=18J
答：
（1）线框的速度-时间图象如图所示．
（2）线框abcd在整个运动过程中产生的焦耳热为18J．

点评：本题要能根据线框的受力情况，分析其运动过程，再选择力学和电磁学的规律求解．考查受力平衡条件、能量守恒定律、牛顿第二定律及运动学公式、法拉第定律、欧姆定律、安培力等等众多知识，综合较强．