Question

今年我国反射了“嫦娥1号”绕月飞船．“嫦娥1号”飞船发射后先绕地球运转，经多次变轨后进入月球轨道成为绕月卫星．若已知飞船质量为m，绕月作匀速圆周运动的轨道半径为R₁，周期为T，月球半径为R₂，万有引力常量为G，试求：
（1）飞船做圆周运动的向心力；
（2）月球的质量；
（3）若月球表面以初速度V₀竖直上抛一小石块，那么石块上升的最大的高度是多少？

Answer 1

分析：（1）根据圆周运动向心力公式，即可求解；
（2）根据万有引力提供向心力，由牛顿第二定律列式，即可求解；
（3）根据月球表面重力等于万有引力，从而列出重力加速度表达式，再根据竖直上抛，列出高度与重力加速度关系，从而即可求解．

解答：解：
（1）根据圆周运动的公式，则有：FN=mR1(

2π

T

)2
（2）月球对飞船的万有引力提供向心力，使其做匀速圆周运动，
根据牛顿第二定律，
则有：G

Mm

R 2 1

=mR1(

2π

T

)2，
所以月球的质量为：M=

4π2 R 3 1

GT2

 （3）对于月球表面的物体m′，其重力等于月球对它的万有引力，
则有：m′g=G

Mm′

R 2 2

 
解得：g=

GM

R 2 2

=

4π2 R 3 1

R 2 2 T2

由竖直上抛运动公式，
则有：

v

2 0

=2gh，
所以h=

v 2 0

2g

=

v 2 0 R 2 2 T2

8π2 R 3 1

答：（1）飞船做圆周运动的向心力有：FN=mR1(

2π

T

)2；
（2）月球的质量为：M=

4π2 R 3 1

GT2

；
（3）若月球表面以初速度V₀竖直上抛一小石块，那么石块上升的最大的高度是

v 2 0 R 2 2 T2

8π2 R 3 1

．

点评：考查圆周运动的基本知识，掌握向心力定义与公式，并由万有引力提供向心力来列式，同时紧扣黄金代换公式与竖直上抛的运动学公式相综合解题．