Question

3．质量为M=2kg的足够长的水平木板静止地放在光滑的水平面上，在其右端静止放着一质量为m=0.5kg的煤块，煤块与长木板间的动摩擦因数为μ=0.2，如图所示．现对长木板施加一水平向右的恒力F=9N，经过2s，将水平恒力大小改为3N，再经过4s，撤去水平恒力．求最终煤块在长木板上留下黑色痕迹的长度．（重力加速度g=10m/s²，忽略因摩擦造成煤块质量的变化）

Answer 1

分析 对长木板和煤块的三种受力情况分别进行受力分析，由牛顿第二定律求出加速度，然后结合运动学的公式即可正确解答．

解答 解：选择向右为正方向，由题意，煤块将相对于长木板有运动，所以长木板受到煤块的摩擦力的作用．摩擦力的大小：f=μmg=0.2×0.5×10=1N
煤块的加速度：$a=\frac{f}{m}=\frac{1}{0.5}=2m/{s}^{2}$
当长木板受到9N的作用力时，受到向右的拉力与向左的摩擦力的作用，Ma₁=F-f
所以长木板在水平方向的加速度：${a}_{1}=\frac{F-f}{M}=\frac{9-1}{2}=4m/{s}^{2}$
2s内木板的位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×4×{2}^{2}=8$m
2s末木板的速度：v₁=a₁t₁=4×2=8m/s
水平力是3N时，Ma₂=F′-f
${a}_{2}=\frac{F′-f}{M}=\frac{3-1}{2}=1m/{s}^{2}$
此后的3s内木板的位移：${x}_{2}={v}_{1}{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}=8×3+\frac{1}{2}×1×{3}^{2}=28.5$m
木板的速度：v₂=v₁+a₂t₂=8+1×3=11m/s
此时煤块的速度：v=a（t₁+t₂）=2×（2+3）=10m/s＜11m/s
所以此后煤块将继续加速，直到与长木板的速度相等．
当撤去拉力后，长木板在水平方向只受到向左的摩擦力的作用，长木板的加速度：${a}_{3}=-\frac{f}{M}=\frac{-1}{2}=-0.5m/{s}^{2}$
设再经过时间t₃二者的速度相等，则：v₂-a₃t₃=v+at₃
代入数据解得：t₃=0.4s
在t₃时间内长木板的位移：${x}_{3}={v}_{2}{t}_{3}+\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{3}^{2}=11×0.4+\frac{1}{2}×（-0.5）×0．{4}^{2}=4.36$m
整个的过程中木块一直向右做匀加速直线运动，位移：$x=\frac{1}{2}a（{t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}）^{2}=\frac{1}{2}×2×（2+3+0.4）^{2}$=29.16m
当煤块与长木板的速度相等后，二者在水平方向不受力的作用，二者一起做匀速直线运动，不再有相对运动．所以最终煤块在长木板上留下黑色痕迹的长度：
△x=x₁+x₂+x₃-x=8+28.5+4.36-29.16=11.7m
答：最终煤块在长木板上留下黑色痕迹的长度是11.7m．

点评 本题关键是明确滑块和长木板的受力情况和运动情况，然后根据牛顿第二定律列式求解出临界加速度，再结合运动学公式列式分析．