Question

【题目】荡秋千杂技表演是大家喜爱的一项活动，随着科技的迅速发展，将来的某一天，同学们也许会在其他星球上观看荡秋千杂技表演，假设你用弹簧秤称出质量为m的物体受到的重力为F、星球半径为R，人的质量为M，秋千质量不计、绳长为l、摆角为（摆角是绳子与竖直方向的夹角，），万有引力常量为G，那么：

（1）该星球的密度多大？该星球表面的第一宇宙速度是多少？

（2）假设人坐在秋千上，把你看作一个质点，从θ角处静止释放，你经过最低点时对秋千的压力是多少？

（3）假设你驾驶飞船在距离星球上空飞行，测出做匀速圆周运动的周期为T，请求出该飞船距离星球表面的高度H。

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）。

【解析】

(1)质量为m的物体在星球地面附近重力近似等于万有引力，可得

根据密度公式有

联立两式可解得

该星球的第一宇宙速度设为v，根据万有引力提供向心力有

结合前面分析可得

(2)由题意可知质量为m的物体受到的重力为F，故有

即

当从θ角处静止释放，到达最低点过程中根据动能定理有

经过最低点时合力提供向心力有

联立可得

根据牛顿第三定律可知对秋千的压力

(3)由题意可知，根据万有引力提供向心力有

结合(1)的分析可得