Question

3．如图所示为四旋翼无人机，它是一种能够垂直起降的小型遥控飞行器，目前正得到越来越广泛的应用．一架质量m=1.6kg的无人机，其动力系统所能提供的最大升力F=36N，已知每个旋翼所能提供的升力F_i=kω_i²，（k为常数，ω_i为旋翼转动的角速度），运动过程中所受空气阻力大小恒为f=4N，取g=10m/s²．
（1）无人机从静止开始，以最大升力竖直向上起飞，求t=5s时离地面的高度h；
（2）无人机悬停在距离地面高度H=90m处时，求其旋翼转动的角速度与提供最大升力时旋翼的角速度之比（$\frac{{ω}_{i}}{{ω}_{m}}$）；
（3）当无人机悬停在距离地面高度H=90m处时，由于动力设备故障，无人机突然失去升力而坠落，坠落过程中，遥控设备及时干预，动力设备重新启动，提供向上最大升力，为保证安全着地，求无人机从开始下落到恢复升力的最长时间t_m．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出以最大升力竖直向上起飞的加速度，结合位移时间公式求出5s时离地的高度．
（2）抓住最大升力与旋翼角速度的关系求出最大角速度，抓住悬停时重力等于升力，求出旋翼的角速度，从而得出旋翼转动的角速度与提供最大升力时旋翼的角速度之比．
（3）根据牛顿第二定律求出下落的加速度，以及恢复最大升力后的加速度，抓住位移关系求出最大速度，从而结合速度时间公式求出无人机从开始下落到恢复升力的最长时间．

解答 解：（1）由牛顿第二定律得：F-mg-f=ma，
代入数据解得：a=10m/s²，
上升高度：h=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×10×25m=125m$．
（2）动力系统所能提供的最大升力时：36=$4k{{ω}_{m}}^{2}$  
即：$k{{ω}_{m}}^{2}=9$，
悬停在H=90m处时：$4k{{ω}_{i}}^{2}=mg$   
即：$k{{ω}_{i}}^{2}=4$，
所以$\frac{{ω}_{i}}{{ω}_{m}}=\frac{2}{3}$．
（3）下落过程中：mg-f=ma₁
代入数据解得：${a}_{1}=7.5m/{s}^{2}$．
恢复升力后向下减速运动过程：F-mg+f=ma₂，
代入数据解得加速度大小为：${a}_{2}=15m/{s}^{2}$．
设恢复升力时的速度为v_m，则有：$\frac{{{v}_{m}}^{2}}{2{a}_{1}}+\frac{{{v}_{m}}^{2}}{2{a}_{2}}=H$，
代入数据解得：v_m=30m/s．
由v_m=a₁t_m得：${t}_{m}=\frac{30}{7.5}s=4s$．
答：（1）t=5s时离地面的高度为125m；
（2）其旋翼转动的角速度与提供最大升力时旋翼的角速度之比为$\frac{2}{3}$；
（3）无人机从开始下落到恢复升力的最长时间为4s．

点评 本题考查了牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，关键理清无人机在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁．