如图所示.小球A以初速v0沿光滑平台向右运动.竖直静止悬挂的小球B.恰好与平台右端接触．一水平放置.半径R=0.5m的薄壁圆桶绕轴OO′匀速转动.转动角速度ω=5πrad/s.桶壁上离左端s=0.2m处开有一长度d=0.8m的长孔.孔宽略大于小球A的直径．圆桶左端和平台右端平齐.顶端距平台h=0.8m．若A.B两球发生弹性正碰时.长孔恰好运动� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

15．

如图所示，小球A以初速v₀沿光滑平台向右运动，竖直静止悬挂的小球B，恰好与平台右端接触．一水平放置、半径R=0.5m的薄壁圆桶绕轴OO′匀速转动，转动角速度ω=5πrad/s，桶壁上离左端s=0.2m处开有一长度d=0.8m的长孔，孔宽略大于小球A的直径．圆桶左端和平台右端平齐，顶端距平台h=0.8m．若A、B两球发生弹性正碰时（碰撞时间极短），长孔恰好运动到桶的正上方，碰后B上摆，A沿水平方向抛射向长孔．已知v₀方向、悬线和圆桶的轴线在同一竖直面上，小球B的质量为m，A的质量是B的k倍，悬线长L=0.8m，视两球为质点，g=10m/s²，不考虑空气阻力．
（1）若k=2，碰后B刚好能摆到与悬点同一高度，试求初速v₀的大小；
（2）试通过计算，判断（1）情形中小球A是否会和圆桶碰撞；
（3）若v₀取（1）中数值，小球A落入孔中且不会与桶壁发生碰撞，试求k的取值范围．

分析（1）根据机械能守恒求出碰后B的速度，根据动量守恒和能量守恒求出碰撞前A的初速度．
（2）根据平抛运动的规律，结合圆筒的周期分析小球A是否会和圆筒相碰．
（3）根据平抛运动的水平位移，抓住小球A不与长孔左边相碰，以及小球A不与长孔右边相碰，结合动量守恒和能量守恒的表达式求出k的范围．

解答解：（1）小球A与B发生弹性正碰，根据动量守恒定律：
m_Av₀=m_Av_A+m_Bv_B               ①
碰撞过程无动能损失：
$\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{A}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{B}}^{2}$          ②
其中m_A=km_B，
碰后小球B上摆过程，由机械能守恒定律：
$\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{B}}^{2}={m}_{B}gL$                    ③
以上三式联立，代入数值得：v₀=3m/s
v_B=4m/s
v_A=1m/s
（2）碰后小球A做平抛运动，设下落至圆桶顶端的时间为t₁，下落至底端的时间为t₂，有：
$h=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$                          ④
h+2R=$\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$                     ⑤
解得：t₁=0.4s    t₂=0.6s
i）圆桶转动的周期$T=\frac{2π}{ω}$=0.4s，说明小球A下落至圆桶顶端时，长孔恰好又处于圆桶的正上方．此时小球A的水平位移x₁=v_At₁=0.4m，s＜x₁＜s+d，说明小球恰好能够落入长孔，不与桶壁相碰．
ii）小球A在桶内下落的时间△t=t₂-t₁=0.2s=$\frac{T}{2}$，说明小球A下落至圆桶底端时，长孔又恰好又处于圆桶的正下方．
此时小球A的水平位移x₂=v_At₂=0.6m，s＜x₂＜s+d，说明小球A恰好能够穿出长孔，不与桶壁相碰．
（3）由（2）中分析知，小球A不与长孔左边相碰的条件为：
v_At₁≥s                       ⑥
小球A不与长孔右边相碰的条件为：
v_At₂≤s+d                    ⑦
由①②式可得，${v}_{A}=\frac{k-1}{k+1}{v}_{0}$       ⑧
⑥～⑧式联立，得1.4≤k≤3.5．
答：（1）初速v₀的大小为3m/s；
（2）小球A是不会和圆桶碰撞；
（3）k的取值范围为1.4≤k≤3.5．

点评本题考查了动量守恒定律、机械能守恒定律和能量守恒定律与平抛运动的综合运用，难度较大，对学生的能力要求较高，尤其第三问，需结合水平位移的范围分析判断．

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