Question

7．如图所示的平面直角坐标系xOy中，ABCD矩形区域内有磁感应强度为B₀的匀强磁场（OD边上无磁场，OA边上有磁场），其中A、D两点的坐标分别为（0，a）和（0，-a），B、C两点的坐标分别为（$\sqrt{3}$a，a）和（$\sqrt{3}$a，-a）；在半径为a、圆心坐标为（-a，0）的圆形区域内有磁感应强度为2B₀的匀强磁场，两个区域内磁场方向均垂直纸面向里．在-a≤x≤0的区域均匀分布有大量质量为m、带电荷量为-q的粒子，粒子均以相同的速度沿y轴正方向射向圆形磁场，最后粒子都进入矩形磁场，已知朝着圆心（-a，0）射入的粒子刚好从O点沿x轴正方向进入矩形磁场．不计粒子的重力及粒子间的相互作用．求：
（1）粒子进入磁场时速度v的大小；
（2）从B点射出的粒子在射入矩形磁场时的速度方向与y轴正方向夹角θ；
（3）从AB边射出的粒子数与粒子总数的比值k．

Answer 1

分析 （!）粒子仅在洛伦兹力作用下，做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可求出运动的半径大小．再根据几何关系，联立求得粒子进入磁场时的速度；
（2）先证明射入圆形磁场的粒子从O点进入矩形磁场区域，在矩形磁场区域中由半径公式$R=\frac{mv}{qB}$，在矩形磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场中圆周远动半径的2倍，
即R′=2a，作出轨迹，根据几何关系求出角度
（3）求出粒子恰好从B点射出时与y轴的夹角θ，当夹角小于等于θ时，有粒子从AB边射出，再求出从B点射出的粒子进入圆形磁场的位置x，再求出比值$k=\frac{|x|}{a}$，

解答 解：（1）根据题意，朝着圆形磁场圆心（-a，0）射入的粒子刚好从坐标原点O沿x轴进入矩形磁区域，则其在圆形磁场内的轨迹恰为四分之一圆周，有：$qv•（2{B_0}）=m\frac{v^2}{R}$…①
R=a…②
联解①②得：$v=\frac{{2aq{B_0}}}{m}$…③
（2）设某粒子从圆形磁场边界上的P点射入，并从Q点射出，轨迹如图甲所示，圆心为O₁，圆形磁场的圆心为O₂，则O₂Q=O₂P=O₁Q=O₁P=a，即四边形O₁QO₂P为菱形，O₂Q∥PO₁∥x轴，故Q点与坐标原点O重合，即射入圆形磁场的粒子均从O点进入矩形磁场的第一象限区域内（包括x轴正方向）．
…④
粒子在矩形磁场中受洛伦兹力作用做圆周运动，设其轨道半径为R′，有：$q{B_0}v=m\frac{v^2}{R'}$…⑤
解⑤得：R'=2a…⑥
由几何关系知：$\overline{OC}=\overline{BC}=2a$…⑦
即粒子从B点离开矩形磁场时对应的轨迹圆心为C点，作出轨迹如图乙所示．

由图乙几何关系知：∠OCD=θ…⑧
$sin∠OCD=\frac{{\overline{OD}}}{{\overline{OC}}}$…⑨
联解⑧⑨得：
θ=30°…⑩
（3）根据图乙知，粒子能从AB边射出，则其射入矩形磁场的速度方向与y轴正方向的夹角应小于或等于θ．根据圆周运动的对称性，则从B点射出的粒子射入圆形磁场位置的横坐标为：x'=-R（1-cosθ）…⑪
$k=\frac{{|{x'}|}}{a}$…⑫
联解⑪⑫得：$k=\frac{{2-\sqrt{3}}}{2}$…⑬
答：（1）粒子进入磁场时速度v的大小为$\frac{2aq{B}_{0}^{\;}}{m}$；
（2）从B点射出的粒子在射入矩形磁场时的速度方向与y轴正方向夹角θ为30°；
（3）从AB边射出的粒子数与粒子总数的比值k为$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，第一问很基础，第二问有一定的难度，关键是找出粒子进入矩形磁场的位置，关键作出轨迹图，确定圆心、半径和圆心角，本题对数学几何能力的要求较高，需加强训练．