Question

（08年黄桥中学三模）(16分)如图所示,光滑的平行金属导轨CD与EF间距为L＝1m,与水平夹角为θ＝30⁰,导轨上端用导线CE连接（导轨和连接线电阻不计）,导轨处在磁感应强度为B＝0.1T、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中.一根电阻为R＝lΩ 的金属棒MN两端有导电小轮搁在两导轨上,棒上有吸水装置P.取沿导轨向下为x轴正方向,坐标原点在CE中点.开始时棒处在x＝0位置（即与CE重合）,棒的起始质量不计.当棒自静止起下滑时,便开始吸水,质量逐渐增大,设棒质量的增大与位移x的平方根成正比,即,k为一常数,.求：

⑴猜测金属棒下滑过程中做的是什么性质的运动,并加以证明．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

⑵金属棒下滑2 m位移时速度为多大?

⑶金属棒下滑2 m位移过程中,流过棒的电荷量是多少?

Answer 1

解析：

⑴由于棒从静止开始运动，因此首先可以确定棒开始阶段做加速运动，然后通过受力分析，看看加速度可能如何变化？如图所示，棒在下滑过程中沿导轨方向有向下的重力分力mgsinθ和向上的安培力F．由于m随位移x增大而增大，所以，mgsinθ是一个变力；而安培力与速度有关，也随位移增大而增大．如果两个力的差值恒定，即合外力是恒力的话，棒有可能做匀加速运动．不妨假设棒做的是匀加速运动，且设下滑位移x时的加速度为ai,根据牛顿第二定律，有

　

　　　　　　　　　　　　　　　

安培力F＝ILB，，所以，

 

有　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

 

假设棒做匀加速运动．则瞬时速度 ，  

         

由于，代入后得到

 

 

　　　　　　　②

 

消去后得到

 

　　　　　 　　③

 

从上述方程可以看出ai的解是一个定值，与位移x无关，这表明前面的假设成立．棒的运动确实是匀加速运动．若本问题中m不与成正比，代人牛顿第二定律方程后，不能消去，加速度ai就与x有关，从而说明ai是一个变量，得到是一个不能白洽的结果，则表明前面的假设不能成立．

 

⑵为了求棒下滑2 m时的速度，应先求出棒的加速度．将题目给出的数据代入③式得到

 

 

 

化简有　　　　　　　　　　　　　　　　　④

 

令，则④式可写作

 

 

解得         　　　a＝4.69m/s2．

 

根据匀变速运动规律，

 

⑶金属棒下滑2m过程中，流过棒的电量可以用求解。

 

 

另一种解法是用求解。棒中瞬时电流。由于v是随时间均匀增加的，所以电流也随时间均匀增加，棒下滑2m位移所需时间为，在这段时间内平均电流，所以，所得的结果与前面相同

 

 

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