Question

20．如图（a）所示，两条足够长的光滑水平轨道MN和PK相距L=0.5m，右端接一阻值为R=0.3Ω的电阻，导轨上放一质量为m=2kg、电阻为r=0.1Ω的导体棒ef，在虚线区域abcd内存在垂直于导轨的匀强磁场，初始时刻导体棒ef与磁场右边界bc之间的距离x₀=0.4m，磁感应强度变化规律如图（b）所示（规定磁感应强度向上为正）．

（1）0～1.0s内，在棒上施加一个大小随时间变化的水平外力F的作用，保持棒处于静止状态，求t=0.6s时通过电阻R的电流；
（2）写出0～1.0s内，外力F随时间t变化的关系式（规定向右为力的正方向）．
（3）若导体棒与导轨之间存在一定的摩擦，动摩擦因数μ=0.5，t₀=1.0s时撤销外力F，磁感应强度不再变化，但磁场立即以a=4m/s²的加速度由静止开始向左运动，求导体棒刚刚开始运动的时刻t（假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力）．
（4）在第（3）问中，若t₂=2.0s以后导体棒运动的加速度恒定不变，求t₃=2.5s时导体棒的速度．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律，结合闭合电路欧姆定律，即可求解；
（2）根据安培力表达式，结合磁感应强度的表达式，及平衡条件，即可求解；
（3）由安培力等于静摩擦力，结合运动学公式，即可求解；
（4）根据牛顿第二定律，结合运动学公式，即可求解．

解答 解：（1）0～1.0s内，$k=\frac{△B}{△t}=\frac{8}{10}=0.8T/s$，
电动势E=kLx₀=8×0.5×0.4V=1.6V 
感应电流I=$I=\frac{E}{R+r}=\frac{1.6}{0.3+0.1}A$=4A
（2）0～1.0s内，磁感应强度表达式为B=8t-4   
安培力F_B=BIL=8（2t-1）N
导体棒受力平衡，施加外力F=F_B=8（1-2t）N
（3）导体棒受到的最大静摩擦力F_f=μmg，刚启动时安培力恰好与静摩擦力F_f大小相等，BIL=μmg，$I=\frac{E}{R+r}=\frac{{BL{{v}_1}}}{R+r}$，
此时磁场的速度${{v}_1}=\frac{μmg（R+r）}{{{B^2}{L^2}}}$=$\frac{0.5×2×10×（0.3+0.1）}{{{4^2}×{{0.5}^2}}}m/s$=1m/s，
磁场由静止开始运动的时间t₁=$\frac{{{{v}_1}}}{a}=\frac{1}{4}s=0.25s$，
导体棒启动时刻为t′=t₀+t₁=1.0+t₁=1.25s   
（4）导体棒t₂=2.0s以后做匀变速运动的加速度与磁场运动的加速度相同，也为a=4m/s²，磁场与导体棒速度的差值△v将保持不变，根据牛顿第二定律：BIL-μmg=ma，
即$\frac{{{B^2}{L^2}△{v}}}{（R+r）}-μmg=ma$，
解出$△{v}=\frac{m（μg+a）（R+r）}{{{B^2}{L^2}}}=\frac{2×（0.5×10+4）×（0.3+0.1）}{{{4^2}×{{0.5}^2}}}m/s$=1.8m/s  
t₃=2.5s时磁场运动的速度v₃=a（t₃-t₀）=4×（2.5-1.0）m/s=6m/s，
导体棒速度v=v=v₃-△v=（6-1.8）m/s=4.2m/s=4.2m/s
答：（1）t=0.6s时通过电阻R的电流4A；
（2）外力F随时间t变化的关系式F=-F_B=8（1-2t）N；
（3）导体棒刚刚开始运动的时刻1.25s；
（4）t₃=2.5s时导体棒的速度4.2m/s．

点评 考查法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律，及牛顿第二定律的应用，掌握运动学公式选取，理解平衡条件的运用．