Question

15．如图所示，将小球a从地面以某一初速度竖直上抛的同时，将另一相同质量的小球b从距地面h处由静止释放，两球恰在$\frac{h}{2}$处相遇（不计空气阻力，重力加速度为g），问：
（1）两个小球落地的时间差△t；
（2）若小球a的初速度增大到原来$\sqrt{2}$倍，问a球上升过程中与b球相遇的位置距离地面多高？

Answer 1

分析 （1）根据题意分析可知，ab两个球在相等的时间内，运动距离都是$\frac{h}{2}$，加速度大小也相等，所以说明在该过程处相遇时a球的速度刚好为0，而b球的速度刚好为v₀；
（2）对两球分析，根据相遇问题的条件进行列式即可求得相遇时间，由位移公式即可得相遇位置．

解答 解：（1）对b球由自由落体规律可知，$\frac{h}{2}$=$\frac{1}{2}$gt²；
对a球可知，$\frac{h}{2}$=v₀t-$\frac{1}{2}$gt²；
解得：v₀t=h
则可知，$\frac{{v}_{0}t}{2}$=$\frac{h}{2}$；
故说明小球a到达最高点的速度为0；
两球下落的是间差相当于a球从中间位置自由下落，b球从中间位置以一定初速度匀加速下落；
a下落时间t_a=$\sqrt{\frac{h}{g}}$；
b下落时间为：t_b=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$-$\sqrt{\frac{h}{g}}$；
故时间差为：△t=t_a-t_b=2$\sqrt{\frac{h}{g}}$-$\sqrt{\frac{2h}{g}}$；
（2）由（1）的分析可知，a的初速度v₀=$\sqrt{gh}$；
以$\sqrt{2}$v₀上抛时；设经时间为t；
则a的位移x_a=（$\sqrt{2gh}$）t-$\frac{1}{2}$gt₂；
b的位移x_b=$\frac{1}{2}$gt²；
x_a+x_b=h；
则有：$\sqrt{2gh}$t=h
解得：t=$\sqrt{\frac{h}{2g}}$
b下落高度x_b=$\frac{1}{2}g×\sqrt{\frac{h}{2g}}$=$\frac{\sqrt{2gh}}{4}$
距地面高度为h-$\frac{\sqrt{2gh}}{4}$；
答：（1）两个小球落地的时间差△t为2$\sqrt{\frac{h}{g}}$-$\sqrt{\frac{2h}{g}}$；
（2）若小球a的初速度增大到原来$\sqrt{2}$倍，问a球上升过程中与b球相遇的位置距离地面h-$\frac{\sqrt{2gh}}{4}$；

点评 根据题目的介绍分析得出ab球的运动之间的关系是解答本题的关键，这要求熟练的掌握自由落体和竖直上抛运动的规律