Question

5．一个物体自h高自由落下，同时在它的正下方第二个物体自地面以某一初速度v₀竖直上抛，要使在第二个物体开始下落而未落地前两者相遇，则v₀应满足什么条件？空气阻力不计．

Answer 1

分析 要使乙在下落过程中与甲相碰，则运行的时间大于乙上升的时间小于乙上升和下落的总时间．根据时间的关系，求出速度的范围

解答 解：设经过时间t甲乙在空中相碰，甲做自由落体运动的位移为
   h₁=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$ ①
乙做竖直上抛运动的位移 h₂=v₀t-$\frac{1}{2}g{t}^{2}$  ②
由几何关系 h=h₁+h₂ ③
联立①②③解得 t=$\frac{h}{{v}_{0}}$④
设乙抛出后经过时间t₀落地，根据速度-时间关系有 t₀=$\frac{2{v}_{0}}{g}$⑤
要甲乙在空中相遇，应满足 0＜t≤t₀ ⑥
联立④⑤⑥解得 v₀≥$\sqrt{\frac{gh}{2}}$．
故乙的初速度v₀应满足 v₀≥$\sqrt{\frac{gh}{2}}$．
在乙下落过程中，甲乙相遇，应满足 $\frac{{v}_{0}}{g}$≤t≤$\frac{2{v}_{0}}{g}$ ⑦
联立④⑦解得 $\sqrt{\frac{gh}{2}}$≤v₀≤$\frac{2{v}_{0}}{g}$
答：v₀应满足 $\sqrt{\frac{gh}{2}}$≤v₀≤$\frac{2{v}_{0}}{g}$

点评 解决本题的关键知道两物体在空中相碰，两物体的位移之和等于h，结合物体运动时间的范围，求出初始度的范围