Question

图示为修建高层建筑常用的塔式起重机．在起重机将质量m=5×10³kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a=0.2m/s²，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做v_m=1.02m/s的匀速运动．取g=10m/s²，不计额外功．求：
（1）起重机允许输出的最大功率．
（2）重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2秒末的输出功率．
（3）若t=20s前物体已经达到最大速度，求t=20s时物体上升的高度．

Answer 1

分析：首先要明白该题的物理过程（F为起重机牵引力）：
第一阶段：匀加速运动阶段．
开始，重物由静止做匀加速直线运动，这个过程中V增大，起重机功率P=FV也增大（F=mg+ma 不变，V增大）；
第二阶段：变加速运动阶段，加速度逐渐减小．
起重机输出功率达到其允许的最大值并保持不变时，其功率已不能维持重物继续做匀加速直线运动了，此时重物虽然做加速运动，但加速度逐渐减小，直到a=0．这个过程中P=FV不变（F减小，V增大）；
第三阶段：匀速直线运动阶段．
加速度等于0后，速度已达到最大值V_m，此时物体做匀速直线运动，此时F=mg，P=FV=mgV_m，不变．

解答：解：（1）设起重机允许输出的最大功率为P₀，重物达到最大速度时，拉力F₀等于重力．
P₀=F₀v_m①
P₀=mg②
代入数据，有：P₀=5.1×10⁴W                            ③
（2）匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为F，速度为v₁，匀加速运动经历时间为t₁，有：
P₀=F₀v₁④
F-mg=ma⑤
V₁=at₁⑥
由③④⑤⑥，代入数据，得：t₁=5s                       ⑦
T=2s时，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度为v₂，输出功率为P，则
v₂=at     ⑧
P=Fv₂    ⑨
由⑤⑧⑨，代入数据，得：P=2.04×10⁴W．
（3）前5s物体做匀加速运动，牵引力F=ma+mg=51000N
物体上升的位移x=

1

2

at2=2.5m
所以前5s牵引力做的功为：W₁=Fx=127500J
对前20s运动的整个过程运用动能定理得：
W1+P0×(20-5)-mgh=

1

2

mvm2
解得：h=17.80m
答：（1）起重机允许输出的最大功率是5.1×10⁴W．
（2）重物做匀加速运动所经历的时间是5 s，起重机在第2秒末的输出功率是2.04×10⁴W．
（3）t=20s时物体上升的高度为17.80m

点评：高中物理中，分析受力和物理过程是非常重要的．最大功率要用第三阶段中的P_m=FV=mgV_m计算，而不能用第一阶段中的F与第三阶段中的V_m的乘积计算，两个F是不同的；V_m是最终速度，整个过程并不全是匀加速运动，不能用V_m=at来计算整个过程时间． 应该根据P_m=FV₁=（mg+ma）at来求t． 要注意某一时刻的物理量要对应起来．